Kezdőlap


Feladat:	880. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gyuris László , Halász Ákos
Füzet:	1958/november, 101 - 102. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Trapézok, Sokszögek szimmetriái, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/február: 880. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Szerkesztéssel a $D$ csúcsot úgy állítanók elő, mint az $A B$ egyenessel ‐ röviden $a$ -val ‐ a $C$ -n át húzott $c$ párhuzamosnak és az $A$ körüli $B C$ sugarú körnek metszéspontját; kövessük ezt a gondolatmenetet a koordináta-geometria módszereivel. $a$ iránytangense az adatokból $\frac{3 + 1}{2 + 6} = \frac{1}{2}$ , így $c$ egyenlete:

\begin{matrix} y - 4 = \frac{1}{2} (x + 1) . \end{matrix}

(1)

Másrészt a

B C

szár hosszának négyzete

{(4 - 3)}^{2} = {(- 1 - 2)}^{2} = 10

, így a mondott kör egyenlete:

\begin{matrix} {(x + 6)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 10. \end{matrix}

(2)

Most már

D

koordinátái az (1) és (2) összekapcsolásával előálló egyenletrendszerből:

D_{1} (- 5, 2)

és

D_{2} (- 9, 0)

. Ezek körül

D_{1}

,,szokásos értelemben vett'' trapézt ad,

D_{2}

pedig paralelogrammává egészíti ki

A B C

-t.

Gyuris László (Gyöngyös, Vak Bottyán g. III. o. t.)

II. megoldás: Használjuk ki az egyenlő szárú trapéz tengelyes szimmetriáját, és állítsuk elő

D

-t mint

C

-nek a tengelyre, a párhuzamos oldalak közös felező merőlegesére való tükörképét. A

t

tengely pontjai, mint az

A

és

B

-től egyenlő távolságra levő pontok, az

\begin{matrix} {(x + 6)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}, \end{matrix}

szokásosan rendezett alakban

\begin{matrix} 2 x + y + 3 = 0 \end{matrix}

(3)

egyenletet elégítik ki. A

C

-n átmenő és a

t

-re merőleges egyenes azonos

c

-vel, ennélfogva a

C D

oldal

F

felezőpontját, amelyre

C

-t tükrözni kívánjuk, az (1) és (3) összekapcsolásával előálló egyenletrendszer megoldása adja:

F (- 3, 3)

. Most már

D

koordinátáit

(u, v)

-vel jelölve, abból, hogy

F

felezi

C D

-t:

\begin{matrix} \frac{- 1 + u}{2} = - 3 és \frac{4 + v}{2} = 3, \end{matrix}

és innen

u = - 5

v = 2

Halász Ákos (Kecskemét, Piarista g. III. o. t.)