|
Feladat: |
879. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bollobás Béla , Győry K. , Halász G. , Kolonits F. , Leipniker P. , Makay A. , Megyesi László , Pásztor Erzsébet , Pődör B. , Sárközy A. , Szász D. , Tatai P. , Tóth Zsuzsanna , Várallyay L. |
Füzet: |
1958/november,
99 - 101. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Beírt kör, Tetraéderek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1958/január: 879. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Láttuk a tetraéderről szóló cikkben, hogy a három szemközti élpár páronkénti összegeinek megegyezése szükséges feltétele (bebizonyítható következménye) az élérintő gömb létezésének. Most a feltétel elegendő voltát kell bizonyítanunk. Hogy bizonyításunkhoz kiindulópontot kapjunk, megemlítjük az élérintő gömb létezésének még egy következményét. Nyilvánvaló, hogy ha van a tetraédernek élérintő gömbje, akkor ezt mindegyik lapsík körben metszi, és a metszési kör azonos a megfelelő lapháromszög beírt körével; továbbá, hogy bármelyik két ilyen kör egymást is érinti. (Különböző síkokban fekvő körökre is akkor mondjuk, hogy érintik egymást, ha van közös pontjuk és abban közös az érintő egyenesük.) Megmutatjuk, hogy a tetraédernek a feltevés szerinti tulajdonságából (l. a jelöléseket az ábrán) ugyancsak következik, hogy bármelyik két lapháromszögéhez tartozó beírt körök érintik egymást.
Tekintsük pl. az és háromszögek , ill. beírt körét és jelöljük az élen levő érintési pontjukat , ill. -nel, az , ill. háromszög félkerületét , ill. -vel. Ekkor ismert összefüggés szerint
és innen, mivel (1) folytán a két zárójelbeli különbség egyenlő, adódik, azaz és egybeesnek, és valóban érintik egymást, és ez áll bármelyik két beírt körre is. A négy tetraéderlaphoz tartozó négy beírt kör egy gömbön van. Ugyanis pl. a beírt körön átmenő (e kört tartalmazó) gömbök középpontjának mértani helye a középpontjában az lapsíkra merőleges egyenes (a kör ,,tengelye''). Bármelyik két ilyen tengely metszi egymást, mert egy síkban vannak ‐ pl. és az lapsíkra merőleges az érintési ponton átmenő, az élre merőleges síkban, ‐ és nem párhuzamosak (ugyanis szögük méri az és lapsíkok szögét, ami sem nem , sem nem ). Ennélfogva az , , , tengelyek a 471. gyakorlatban bebizonyított tétel szerint egy pontban metszik egymást (ugyanis nem lehetnek egy síkban, mert különben a rájuk merőleges négy lapsík merőlegesen állana a tengelyek közös síkjára, akkor pedig ugyanez állana a lapsíkok páronkénti metszésvonalaira, az élek egyeneseseire is, vagyis mind a hat él párhuzamos volna). Ez az pont a négy beírt kör páronkénti, összesen hat érintkezési pontjától ugyanakkora távolságban van. Bármelyik lap beírt körének három érintési pontjára nyilván igaz ez ‐ pl. az lapon , , -re ‐, ezek viszont a további három lapból még egy-egyben játsszák ugyanezt a szerepet, és így az egyenlőség átjut -nak a további három él-érintési ponttól való távolságára. Végül az , , ill. szakasz merőleges az , , ill. élre, mert pl. a fentiek szerint benne van és közös síkjában, és ez áll a további esetekben is, ‐ ennélfogva az körül sugárral írt gömb valóban érinti a tetraéder valamennyi élét. Ezzel bizonyításunkat befejeztük.
Megyesi László (Makó, József A. g. IV. o. t.) | II. megoldás: Vegyünk át az I. megoldásból annyit, hogy pl. az csúcsban találkozó három háromszöglap beírt körei páronként érintik egymást éspedig különböző pontban. Másrészt ez a három kör nincs egy síkban. Ezekből már következik, hogy egy gömbön vannak. Ez a gömb a három háromszög oldalaiként a tetraédernek mind a hat élét érinti.
Bollobás Béla (Bp. V., Apáczai Csere J. gyak. g. I. o. t.) |
Molnár Ferenc: A tetraéder nevezetes pontjairól (I. közlemény), K. M. L. XVI. kötet 1‐6. o. 1958 január.Lásd: Hajós-Neukornm-Surányi: Matematikai Versenytételek II. rész. Tankönyvkiadó 1957, 57. o., 1937. évi 2. feladat. |
|