Kezdőlap


Feladat:	877. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Rátkai Zsolt , Tóth Zsuzsanna
Füzet:	1958/november, 96 - 97. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Determinánsok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/január: 877. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Adjuk hozzá a $D_{n}$ determináns első sorát a második sorához, majd az így keletkezett második sor $1 / 2$ -szeresét a harmadik sorhoz, az így keletkezett harmadik sor $1 / 3$ -szorosát a negyedik sorhoz s i. t. Így $D_{n}$ -nel egyenlő értékű olyan determinánst kapunk, amelyben a főátló alatt levő elemek mind $0$ -val egyenlőek, és a főátlóban a természetes számok állnak $1$ -től $n$ -ig. Ámde ismeretes, hogy ha a főátló alatti (vagy feletti) elemek mind $0$ -val egyenlőek, akkor a determináns értéke a főátlóban álló elemek szorzata, tehát $D_{n}$ értéke valóban $n!$

Rátkai Zsolt (Bp. VI., Kölcsey g. III. o. t.)

II. megoldás: A bizonyítást elvégezhetjük a teljes indukció módszerével is.

n = 2

és

n = 3

esetén feladatunk állítása igaz, mert

\begin{matrix} D_{2} & = | \begin{matrix} 1 & 1^{2} \\ - 1 & 1 \end{matrix} | = 1 + 1 = 2 = 2! \\ D_{3} & = | \begin{matrix} 1 & 1^{2} & 0 \\ - 1 & 1 & 2^{2} \\ 0 & - 1 & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 2^{2} \\ - 1 & 1 \end{matrix} | + | \begin{matrix} 1^{2} & 0 \\ - 1 & 1 \end{matrix} | = 1 + 4 + 1 = 6 = 3! \end{matrix}

Tegyük fel, hogy az állítás igaz mind az

n = k - 2

, mind az

n = k - 1

esetben, vagyis

D_{k - 2} = (k - 2)!

és

D_{k - 1} = (k - 1)!

Bebizonyítjuk, hogy ekkor

n = k

-ra is igaz. Ugyanis, ha a

k

-adrendű

D_{k}

determináns

k

-adik oszlopát az előtte állóhoz hozzáadjuk, majd az így kapott determinánst a

k

-adik sora szerint kifejtjük, evvel egyetlen,

k - 1

-ed rendű determinánshoz jutunk, és ha ezt

k - 1

-edik oszlopa alapján két ugyancsak

k - 1

-ed rendű determináns összegére bontjuk,^{$^{*}$} akkor az elsőben ráismerünk

D_{k - 1}

-re, a másodiknak a

k - 1

-edik oszlop szerinti, ugyancsak egytagú kifejtésében pedig

D_{k - 2}

-re, mint tényezőre:

\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 1^{2} & ... & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & ... & 0 & 0 & 0 & ... & . & . & . \\ . & . & ... & . & . & . & ... & {(k - 3)}^{2} & 0 & 0 \\ D_{k} = & 0 & 0 & ... & {(k - 3)}^{2} & 0 & 0 & = & ... & 1 & {(k - 2)}^{2} & 0 & = \\ 0 & 0 & ... & 1 & {(k - 2)}^{2} & 0 & ... & - 1 & 1 + {(k - 1)}^{2} & {(k - 1)}^{2} \\ 0 & 0 & ... & - 1 & 1 & {(k - 1)}^{2} & ... & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & ... & 0 & - 1 & 1 \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} = \begin{matrix} ... & . & . & ... & . & . & ... & . & . \\ ... & {(k - 3)}^{2} & 0 & ... & {(k - 3)}^{2} & 0 & ... & {(k - 3)}^{2} & 0 \\ = & + \\ ... & 1 & {(k - 2)}^{2} + 0 & ... & 1 & {(k - 2)}^{2} & ... & 1 & 0 \\ ... & - 1 & 1 + {(k - 1)}^{2} & ... & - 1 & 1 & ... & - 1 & {(k - 1)}^{2} \end{matrix} = \end{matrix}

\begin{matrix} = D_{k - 1} & + {(k - 1)}^{2} D_{k - 2} = (k - 1)! + {(k - 1)}^{2} (k - 2)! = (k - 1)! + \\ + (k & - 1) (k - 1)! = (1 + k - 1) (k - 1)! = k! \end{matrix}

ami bebizonyítandó volt.

Tóth Zsuzsanna (Makó, József A. g. IV. o. t.)

^{$^{*}$}Lásd K. M. L. XV. köt. 80. o. 1957 november.