Nyilván csak olyan sorozatokról lehet szó, amelyeknek bármely két tagja különböző, hiszen pl. a $k\left(\geqq 4\right)$ számú tagból álló 1, 2, 2, $\text{...}$, 2 sorozatra az állítás nem igaz, mert már $k=4$ esetén az $1$, $2$, $2$, $2$ sorozat tagjainak száma nagyobb, mint a feladatban megadott $\frac{4}{3}+2=\frac{10}{3}$ felső korlát, $k=\mathrm{5,}\mathrm{6,}\text{...}$ esetén pedig a tagok száma lépésről lépésre $1$-gyel nő, a $\frac{k}{3}+2$ felső korlát pedig csak $\frac{1}{3}$- dal.
Osszuk a $k$-nál kisebb természetes számokat $3$-tól kezdve három egymásutáni tagból álló csoportokba, vagyis tartozzanak egy csoportba a $3j$, $3j+1$, $3j+2$ számok, az utolsó csoport esetleg csonka. Vizsgálandó sorozatainkba minden ilyen hármas csoportból legfeljebb egy szám tartozhat, azaz nem tartozhat bele kettő. Ha ugyanis $3j$ tagja a sorozatnak, ez a sorozat első két tagjával képezett $1+3j$, ill. $2+3j$ összegek révén a csoport további két tagjának felvételét kizárja. Ha pedig $3j$ nem tartozik a sorozathoz, de $3j+1$ igen, akkor az $1+\left(3j+1\right)$ összeg miatt $3j+2$ nem vehető fel.
Már most a $3$-tól $k-1$-ig terjedő egész számok $\left[\frac{k-1}{3}\right]$ hármas csoportot adnak^{${}^{*}$}; például