Kezdőlap


Feladat:	875. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Elekes Béla , Sármezei Ildikó
Füzet:	1958/november, 94 - 95. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Trigonometrikus egyenletek, Szinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/január: 875. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A feltevésből következő

\begin{matrix} cos α = cos (180^{\circ} - β - γ) = - cos (β + γ) = sin β sin γ - cos β cos γ \end{matrix}

kifejezés behelyettesítésével, átcsoportosítással és további ismert azonosságok felhasználásával az első kifejezés értéke:

\begin{matrix} \frac{sin^{2} β + sin^{2} γ - 2 sin^{2} β sin^{2} γ + 2 sin β sin γ cos β cos γ}{sin^{2} α} = \\ = \frac{sin^{2} β (1 - sin^{2} γ) + sin^{2} γ (1 - sin^{2} β) + 2 sin β cos γ cos β sin γ}{sin^{2} α} = \\ = \frac{sin^{2} β cos^{2} γ + 2 sin β cos γ cos β sin γ + cos^{2} β sin^{2} γ}{sin^{2} α} = \\ = \frac{{(sin β cos γ + cos β sin γ)}^{2}}{sin^{2} α} = \frac{sin^{2} (β + γ)}{sin^{2} α} = \frac{sin^{2} (180^{\circ} - α)}{sin^{2} α} = \frac{sin^{2} α}{sin^{2} α} = 1. \end{matrix}

Vegyük észre, hogy a második kifejezés úgy állítható elő az elsőből, hogy

α

β

γ

helyére minden előfordulásukban

β

γ

α

-t írunk, és ugyanígy áll elő a harmadik kifejezés is a másodikból, végül az első is a harmadikból (ciklikus felcserélés). Ennek alapján a további két kifejezés értéke is

1

, és így egymással valóban egyenlők.

Elekes Béla (Bp. I., Toldy Ferenc g. III. o. t.)

II. megoldás: Írjuk az első kifejezést a következő alakba:

\begin{matrix} {(\frac{sin β}{sin α})}^{2} + {(\frac{sin γ}{sin α})}^{2} - 2 \frac{sin β}{sin α} \cdot \frac{sin γ}{sin α} cos α, \end{matrix}

helyettesítsük benne a hányadosokat a szinusz-tétel alapján a megfelelő két oldal hányadosával, majd összevonás után ismerjük fel a számlálóban

a^{2}

-nek a koszinusz tétel szerinti kifejezését. Így értéke:

\begin{matrix} {(\frac{b}{a})}^{2} + {(\frac{c}{a})}^{2} - 2 \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{a} cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α}{a^{2}} = \frac{a^{2}}{a^{2}} = 1, \end{matrix}

és ugyanez áll a második és a harmadik kifejezésre is.

Sármezei Ildikó (Bp. I., Szilágyi Erzsébet lg. III. o. t.)

További megoldók a szögek szinusza, az oldalak és a körülírt kör átmérője közti összefüggéssel mutatták meg, hogy mindegyik kifejezés értéke

1

, vagy pedig az átmérő helyett a háromszög területét vonták be átmenetileg az átalakításba.