Kezdőlap


Feladat:	873. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tatai Péter
Füzet:	1958/szeptember, 9 - 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/január: 873. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ azonosság mindkét oldalát négyzetre emelve:

\begin{matrix} sin^{4} x + cos^{4} x + 2 sin^{2} x cos^{2} x = 1, \end{matrix}

azaz a

sin 2 x = 2 sin x cos x

összefüggés felhasználásával

\begin{matrix} sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x . \end{matrix}

Ezt behelyettesítve a megoldandó egyenletbe és 4-gyel rögtön beszorozva

\begin{matrix} sin^{2} 2 x - 8 sin 2 x + 4 = 0. \end{matrix}

Ennek a

sin 2 x

-re másodfokú egyenletnek a két gyöke:

4 \pm 2 \sqrt[]{3}

. Ezek közül csak az 1-nél kisebb értékű

4 - 2 \sqrt[]{3} \approx 0, 5359

gyök jön számításba. A közelítő értékek visszakeresésével

\begin{matrix} 2 x_{1} = 32, 4^{\circ} \pm n \cdot 360^{\circ}, 2 x_{2} = 147, 6^{\circ} \pm n \cdot 360^{\circ}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x_{1} = 16, 2^{\circ} \pm n \cdot 180^{\circ}, x_{2} = 73, 8^{\circ} \pm n \cdot 180^{\circ} (n = 0,1,2, ...) . \end{matrix}

Ezzel a feladatot megoldottuk.

Tatai Péter (Bp. XIV., I. István g. III. o. t.)

Megjegyzés: A fent nyert egyenlethez eljutunk akkor is, ha a

\begin{matrix} sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}, cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}, \end{matrix}

majd a

cos^{2} 2 x = 1 - sin^{2} 2 x

azonosságokat felhasználva alakítjuk át egyenletünket. Továbbá a

\begin{matrix} sin^{4} x + cos^{4} x = {(cos^{2} x - sin^{2} x)}^{2} + 2 sin^{2} x cos^{2} x = \\ = cos^{2} 2 x + \frac{1}{2} sin^{2} 2 x = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x \end{matrix}

átalakítással is.