Feladat: 871. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Trón Lajos 
Füzet: 1958/szeptember, 7 - 8. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szögfelező egyenes, Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/december: 871. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a szögfelezők és oldalak metszéspontjai A1, B1, C1, az ABC háromszög területe T.

 

 

Az ábráról leolvasható, hogy a kérdéses területet megkapjuk, ha az eredeti háromszög területéből levonjuk három kis háromszög területét:
t=T-tB1AC1-tA1BC1-tA1CB1.

Határozzuk meg a kivonandó területeket két-két oldal és a közbezárt szög segítségével:
t=T-B1AAC1sinα2-A1BBC1sinβ2-A1CCB1sinγ2.(1)

A szereplő távolságokat és szinuszokat az eredeti háromszög oldalaival kell kifejeznünk. A szögfelezők osztásaránya alapján:
BC1=aca+b,AC1=bca+b,BA1=acb+c,CA1=abb+c,AB1=bca+c,CB1=aba+c.

A már előbb is használt háromszög területképletből pedig
sinα=2Tbc,sinβ=2Tac,sinγ=2Tab.

Az (1) képletbe helyettesítve, egyszerűsítve és közös nevezőre hozva:
t=T(1-bc(a+b)(a+c)-ac(a+b)(b+c)-ab(a+c)(b+c))==T2abc(a+b)(b+c)(c+a).



A T területet kifejezhetjük az oldalak segítségével a Heron-képlettel:
t=2abcs(s-a)(s-b)(s-c)(a+b)(b+c)(c+a).

Trón Lajos (Debrecen, Fazekas g. III. o. t.)