Kezdőlap


Feladat:	870. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Füle Károly
Füzet:	1958/szeptember, 6 - 7. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt alakzatok, Szinusztétel alkalmazása, Szabályos sokszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/december: 870. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ötszögbe rajzolt négyzetnek az ötszögoldallal párhuzamos egyik oldala az ötszögből egy egyenlő szárú háromszöget metsz ki. Mivel a szabályos ötszög egy szöge 108 fokos, az egyenlő szárú háromszög két egyenlő szögére $36^{\circ}$ jut. Így viszont az $A F E$ háromszög szögei 108, 54 és 18 fokosak.

Az említett két háromszögből a sinustétel alapján

\begin{matrix} \frac{A F}{x} = \frac{sin 18^{\circ}}{sin 108^{\circ}}, \frac{F B}{x} = \frac{sin 36^{\circ}}{sin 108^{\circ}} . \end{matrix}

Adjuk össze a két egyenletet (mindjárt felhasználva, hogy

A F + F B

éppen az ötszög egy oldalát adja):

\begin{matrix} \frac{a}{x} = \frac{sin 18^{\circ} + sin 36^{\circ}}{sin 108^{\circ}} . \end{matrix}

Innen a keresett

x

bosszúság:

\begin{matrix} x = \frac{a sin 108^{\circ}}{sin 18^{\circ} + sin 36^{\circ}} = a \cdot \frac{cos 18^{\circ}}{sin 18^{\circ} + 2 sin 18^{\circ} cos 18^{\circ}} = a \cdot \frac{1}{tg 18^{\circ} + 2 sin 18^{\circ}} . \end{matrix}

A szögfüggvények közelítő értékeit táblázatból kikereshetjük, s így

x

-re a következő közelítő értéket kapjuk:

\begin{matrix} x \approx 1, 06 a . \end{matrix}

Füle Károly (Bp. V., Apáczai Csere g. III. o. t.)