Kezdőlap


Feladat:	869. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Marton Éva , Pődör Bálint
Füzet:	1958/május, 153 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Determinánsok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/december: 869. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vonjuk ki az adott (az alábbiakban $D$ -vel jelölt) determináns harmadik oszlopából a másodikat, majd a második oszlopból az elsőt, ekkor a determináns értéke nem változik:

\begin{matrix} D = | \begin{matrix} n^{2} & {(n + 1)}^{2} & {(n + 2)}^{2} \\ {(n + 3)}^{2} & {(n + 4)}^{2} & {(n + 5)}^{2} \\ {(n + 6)}^{2} & {(n + 7)}^{2} & {(n + 8)}^{2} \end{matrix} | = {| \begin{matrix} n^{2} & 2 n + 1 & 2 n + 3 \\ {(n + 3)}^{2} & 2 n + 7 & 2 n + 9 \\ {(n + 6)}^{2} & 2 n + 13 & 2 n + 15 \end{matrix} |}_{.} \end{matrix}

Most vonjuk ki a harmadik sorból a másodikat, utána a második sorból az elsőt, majd ismét a harmadik sorból a másodikat és az így kapott determináns harmadik oszlopából a második oszlopot:

\begin{matrix} D = | \begin{matrix} n^{2} & 2 n + 1 & 2 n + 3 \\ 3 & (2 n + 3) & 6 & 6 \\ 3 & (2 n + 9) & 6 & 6 \end{matrix} | = | \begin{matrix} n^{2} & 2 n + 1 & 2 n + 3 \\ 3 & (2 n + 3) & 6 & 6 \\ 18 & 0 & 0 \end{matrix} | = \end{matrix}

\begin{matrix} = {| \begin{matrix} n^{2} & 2 n + 1 & 2 \\ 3 & (2 n + 3) & 6 & 0 \\ 18 & 0 & 0 \end{matrix} |}_{.} \end{matrix}

Ebből a determináns értéke (a determinánst pl. a harmadik oszlopa szerint kifejtve):

\begin{matrix} D = - 2 \cdot 6 \cdot 18 = - 216 = - 6^{3} . \end{matrix}

Marton Éva (Bp. VI., Veres Pálné lg. I. o. t.)

Megjegyzések: 1. A determináns értékét természetesen közvetlenül a Sarrus‐szabály segítségével is kiszámíthatjuk. A részletes számítást ‐ mert egyszerűsége mellett nagyon hosszadalmas ‐ nem közöljük, csak megemlítjük, hogy az

n = m - 4

mennyiség bevezetésével a számítás kissé egyszerűbbé válik.

Pödör Bálint (Bp. II., Rákóczi g. IV. o. t.)

2. A feladat megoldható teljes indukcióval is.