Feladat: 868. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bognár László 
Füzet: 1958/május, 152 - 153. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/december: 868. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az egyenlet három gyöke x1, x2, x3. A gyökök és együtthatók közti összefüggés alapján

x1+x2+x3=0,(1)x1x2+x1x3+x2x3=p,(2)x1x2x3=-q.(3)

Ha x1 és x2 egymás reciprokai, akkor x1x2=1, s így a (3) egyenletből:
x3=-q.

Ebből (1) alapján
x1+x2=q.

A nyert összefüggéseket (2)-be helyettesítve:
p=x1x2+x3(x1+x2)=1-q2.

A feladat első részét meg is oldottuk: a szóbanforgó harmadfokú egyenletnek
x3+(1-q2)x+q=0(4)
alakúnak kell lenni ahhoz, hogy az egyenlet két gyöke egymásnak reciprok értéke lehessen. Hátra van még a gyökök meghatározása.
Az egyenlet egyik gyökének értékét már ismerjük:
x3=-q.

Mivel a másik két gyökre fennáll az
x1x2=1
és az
x1+x2=q
összefüggés, ez a két gyök gyöke az
x2-qx+1=0
másodfokú egyenletnek. Az egyenlet megoldásával
x1=q+q2-42,x2=q-q2-42.

Ha q2≥4, akkor tehát a harmadfokú egyenletnek három valós gyöke van, ha q2=4, kettő ezek közül egyenlő, ha pedig q2<4, akkor az egyenletnek csak egy valós megoldása van.
Megjegyzés: Az x1-et és x2-t meghatározó egyenlethez úgy is eljuthatunk, ha a (4) harmadfokú egyenletet elosztjuk az x3-hoz tartozó (x+q) gyöktényezővel.
 

Bognár László (Veszprém, Lovassy g. III. o. t.)