Kezdőlap


Feladat:	867. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bollobás Béla
Füzet:	1958/május, 150 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletrendszerek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/december: 867. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban szereplő első egyenlet értelmetlen akkor, ha valamelyik nevező $0$ , tehát ha

\begin{matrix} sin x + cos x = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x_{1} = 135^{\circ} \pm n \cdot 360^{\circ}, \end{matrix}

\begin{matrix} x_{2} = 315^{\circ} \pm n \cdot 360^{\circ}; \end{matrix}

a második nevezőből ugyanígy akkor, ha

\begin{matrix} y_{1} = 135^{\circ} \pm n \cdot 360^{\circ}, y_{2} = 315^{\circ} \pm n \cdot 360^{\circ} . \end{matrix}

A két szög összegére vonatkozó összefüggések alapján a harmadik nevező az első két nevező szorzatára bontható:

\begin{matrix} sin (x + y) + cos (x - y) = (sin x + cos x) (sin y + cos y), \end{matrix}

így ez ugyanakkor

0

, mikor az első kettő.
Az említett gyököket kizárva, az egyenletet végigszorozhatjuk a nevezők legkisebb közös többszörösével:

\begin{matrix} {(sin x + cos x)}^{2} + {sin}^{2} y - {cos}^{2} y = 1. \end{matrix}

{sin}^{2} y

helyébe

1 - {cos}^{2} y

-t írva:

\begin{matrix} {(sin x + cos x)}^{2} - 2 {cos}^{2} y = 0. \end{matrix}

(1)

Vonjuk ki ezt az egyenletet az egyenletrendszer második egyenletéből:

\begin{matrix} {(sin x + cos x)}^{2} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} + 1. \end{matrix}

Bontsuk tagokra a baloldalt. A

{sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1

és a

2 sin x cos x = sin 2 x

összefüggések felhasználásával a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} sin 2 x = \frac{\sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} 2 x_{1} = 60^{\circ} \pm n \cdot 360^{\circ}, & azazx_{1}=30^{\circ}\pmn\cdot180^{\circ},2x_{2}=120^{\circ}\pmn\cdot360^{\circ}, azaz & x_{2} = 60^{\circ} \pm n \cdot 180^{\circ} \end{matrix}

(n = 0, 1, 2, 3, ...)

y

-t legegyszerűbben úgy határozhatjuk meg, ha (1) kétszeresét levonjuk az egyenletrendszer második egyenletéből. Így a következő egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} 2 {cos}^{2} y = \frac{\sqrt[]{3}}{2} + 1, \\ cos y = \pm \sqrt[]{\frac{1 + \frac{\sqrt[]{3}}{2}}{2}} . \end{matrix}

Mivel

cos α = \pm \sqrt[]{\frac{1 + cos 2 α}{2}}

és

360^{\circ}

többszöröseitől eltekintve

\begin{matrix} cos 30^{\circ} = cos 330^{\circ} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}, \\ ezért & 2 y_{1} = & 30^{\circ} \pm n \cdot 360^{\circ} \\ és & 2 y_{2} = & 330^{\circ} \pm n \cdot 360^{\circ}, \\ azaz & y_{1} = & 15^{\circ} \pm n \cdot 180^{\circ}, \\ y_{2} = & 165^{\circ} \pm n \cdot 180^{\circ} . \end{matrix}

A kizárt gyökök egyikét sem kaptuk megoldásnak. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy a kapott gyökök valóban megoldásai az egyenletrendszernek.

Bollobás Béla (Bp. V., Apáczai Csere g. I. o. t.)