Kezdőlap


Feladat:	865. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Meskó Attila
Füzet:	1958/május, 146 - 147. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Anyagok keverése és töltögetése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/december: 865. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a hordóban kezdetben $x$ liter bor. Az első csapolás után $x - 4$ liter marad. A $4$ liter vízzel való pótlás után $1$ liter keverék bortartalma: $\frac{x - 4}{x}$ liter. Így a második csapolás a hordóból $4 \cdot \frac{x - 4}{x}$ liter bort enged ki, s a hordóban

\begin{matrix} x - 4 - 4 \cdot \frac{x - 4}{x} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{x} \end{matrix}

liter bor marad. Az újabb vízzel való pótlás után

1

liter keverékben

\frac{{(x - 4)}^{2}}{x^{2}}

liter tiszta bor van. Így a harmadik csapolás után a hordóban

\begin{matrix} \frac{{(x - 4)}^{2}}{x} - 4 \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{x^{2}} = \frac{{(x - 4)}^{3}}{x^{2}} \end{matrix}

liter bor marad. A bekerült víz mennyisége

x - \frac{{(x - 4)}^{3}}{x^{2}}

liter. Ez a feladat szerint

2, 5

literrel több a bor mennyiségénél:

\begin{matrix} \frac{{(x - 4)}^{3}}{x^{2}} = x - \frac{{(x - 4)}^{3}}{x^{2}} - 2, 5. \end{matrix}

x^{2}

-tel végigszorozva és rendezve:

\begin{matrix} 2 {(x - 4)}^{3} - x^{3} + 2, 5 x^{2} = 0, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} x^{3} - 21, 5 x^{2} + 96 x - 128 = 0. \end{matrix}

Meg kell keresnünk a kapott egyenlet gyökeit. Az egyenlet így alakítható:

\begin{matrix} x^{3} - 16 x^{2} - 5, 5 x^{2} + 88 x + 8 x - 128 = \\ = & x^{2} (x - 16) - 5, 5 x (x - 16) + 8 (x - 16) = \\ = & (x - 16) (x^{2} - 5, 5 x + 8) = 0. \end{matrix}

Az egyenlet egyik gyöke

x = 16

, a másik két gyököt a másodfokú tényező szolgáltatja. Mivel az így kapott egyenlet diszkriminánsa negatív, az egyenletnek több valós megoldása nincs.
Eredetileg tehát

16

liter bor volt a hordóban. Számolással ellenőrizhetjük, hogy a kapott megoldás valóban helyes.

Meskó Attila (Bp. VII., Madách g.)