Kezdőlap


Feladat:	864. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh Judit
Füzet:	1958/május, 145 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Oszthatóság, Szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/december: 864. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a keresett páros számok: $2 a$ , $2 b$ , $2 c$ , $2 d$ . A feladat alapján a következő egyenleteket állíthatjuk fel:

\begin{matrix} 2 a + 2 b + 2 c + 2 d & = 100, & (1) \\ 24 a + 60 b + 104 c & = 2000. & (2) \end{matrix}

A második egyenletben minden tagot oszthatunk

4

-gyel. Az így kapott egyenletből az első egyenlet

3

-szorosát kivonva az

a

-t tartalmazó tagok összege

0

lesz:

\begin{matrix} 9 b + 20 c - 6 d = 200. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} c = \frac{6 d - 9 b + 200}{20} = 10 - \frac{3}{20} (3 b - 2 d) . \end{matrix}

(3)

Hogy

c

egész szám legyen, kell, hogy

(3 b - 2 d)

osztható legyen

20

-szal. A feladat szerint

2 c

egyjegyű pozitív egész szám, így

c

értéke csak

1

2

3

4

lehet. Vegyük sorra az egyes eseteket.
1. Ha

c = 4

, akkor az egyenletből

\begin{matrix} 3 b - 2 d = 40, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} b = \frac{40 + 2 d}{3} = 13 + \frac{1 + 2 d}{3} . \end{matrix}

(4)

Mivel

2 d

is egyjegyű szám,

d

csak

1

2

3

4

lehet. A feladat szerint a számok különbözők, tehát

d

-re ez esetben csak az

1

2

3

értékek jöhetnek szóba. Ezek közül csak

d = 1

esetén kapunk a (4) képletből egész számot, mégpedig

14

-et. A

b = 14

c = 4

d = 1

értékek behelyettesítésével az (1) egyenletéből

2 a

-ra

62

-t kapunk, s így a négy számra a feladat első megoldásaként a

\begin{matrix} 62, 28, 8, 2 \end{matrix}

számokat nyerjük.
2. Ha a

c

értéke

3

vagy

2

, könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a (3) egyenletben

(3 b - 2 d)

-re egyik esetben sem kaphatunk

20

-szal osztható számot. Így még azt az esetet kell megvizsgálnunk, mikor
3.

c = 1

. Ekkor

3 b - 2 d = 60

, ebből

\begin{matrix} b = \frac{60 + 2 d}{3} = 20 + \frac{2 d}{3} . \end{matrix}

Mivel

d

csak

1

2

3

vagy

4

lehet,

b

-re csak a

d = 3

esetben kaphatunk egész számot,

22

-t.

2 a

értékét az (1) egyenletből kiszámítva, a négy szám értéke ez esetben

\begin{matrix} 48, 44, 2, 6. \end{matrix}

Feladatunknak tehát két megoldása van, mert könnyen ellenőrizhető, hogy mindkét számnégyes kielégíti az eredeti feltételeket is.

Németh Judit (Kecskemét, Közg. techn. III. o. t.)