Kezdőlap


Feladat:	861. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartha László
Füzet:	1958/május, 141 - 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt alakzatok, Egyenes körhengerek, Egyenes körkúpok, Térfogat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/november: 861. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábra a kúpnak és a hengernek egy a közös tengelyen átmenő síkmetszetét mutatja.

Ha a henger sugarát

r

-rel, magasságát

m

-mel jelöljük, a térfogata

\begin{matrix} V = r^{2} π m . \end{matrix}

Az ábrán található hasonló háromszögekből:

\begin{matrix} \frac{m}{M} = \frac{R - r}{R} . \end{matrix}

Fejezzük ki ebből

m

-et és helyettesítsük be a térfogatképletbe:

\begin{matrix} V = \frac{M π}{R} r^{2} (R - r) = \frac{4 M π}{R} \cdot \frac{r}{2} \cdot \frac{r}{2} (R - r) . \end{matrix}

A szorzatban az

r

-től függő tényezők összege

\frac{r}{2} + \frac{r}{2} + R - r = R

állandó, így a köbtartalom akkor lesz maximális, ha a tényzők egyenlőek:

\begin{matrix} \frac{r}{2} = R - r, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} r = \frac{2}{3} R . \end{matrix}

A maximális köbtartalom

\begin{matrix} V_{{max}_{}^{}} = \frac{4}{27} R^{2} π M . \end{matrix}

Ez a kúp

\frac{R^{2} π M}{3}

térfogatának

\frac{4}{9}

-e, azaz

100 \cdot \frac{4}{9} = 44 \frac{4}{9} %

-a.
Ezzel a feladatot megoldottuk.

(Bartha László Balassagyarmat, Balassa g. III. o. t.)