Feladat: 860. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Pál Gábor 
Füzet: 1958/május, 140 - 141. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Terület, felszín, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Trapézok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/november: 860. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük x-szel az oldalfalnak az alapdeszkával bezárt hegyesszögét. A további jelöléseket az ábra mutatja.

 

 

Az AFD derékszögű háromszögből a trapéz magassága:
m=a2-l2,
így a trapéz területe
t=a+a+2l2m=(a+l)a2-l2.

Mivel a terület mindig pozitív, t-nek (mint l függvényének) ugyanott van maximuma, ahol 3t2-nek:
3t2=3(a+l)2(a2-l2)=(a+l)(a+l)(a+l)(3a-3l).

A négy tényező összege 6a állandó. Így a számtani-mértani közép közti egyenlőtlenség alapján a szorzat akkor maximális, ha tényezői egyenlőek:
a+l=3a-3l,
vagyis ha
l=a2.

A maximális csatorna-keresztmetszetet ez már meghatározza. Számítsuk ki, hogy a lehető legnagyobb trapéz terület esetén mekkora az x szög. Az AFD derékszögű háromszögből:
cosx=la.

Ennek értéke a maximális területű trapéz esetén a2a=12, tehát
x=60.

A csatorna térfogata eszerint akkor lesz maximális, ha az oldalfal az alapdeszkával x=60-os hegyesszöget zár be.
 

Pál Gábor (Miskolc, Kohászati techn. II. o. t.)
 

Megjegyzések: 1. Lényegében ugyanehhez a megoldáshoz jutunk, ha közvetlenül az alap és az oldallap közti x szöggel fejezzük ki a keresztmetszet területét. Ekkor
l=acosx,m=asinx,ígyt=2a+2l2m=a2(1+cosx)sinx.Ennek ugyanott van a maximuma, mint a(ta2)2=(1+cosx)2sin2x=(1+cosx)2(1-cos2x)==(1+cosx)(1+cosx)(1+cosx)(1-cosx)
függvénynek és ebből 3-mal szorozva az előző megoldáshoz hasonlóan állapítható meg a maximum.
2. A feladatot megoldhatjuk differenciálszámítással is. Az ezzel a módszerrel történő megoldásokat szintén elfogadtuk.