Kezdőlap


Feladat:	859. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1958/május, 138 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/november: 859. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábra mutatja az $A B C$ szabályos háromszöget, az $α$ szöggel elforgatott $A' B' C'$ szabályos háromszöget és a közös, köréjük írható kört.

Más-más oldalegyeneseket tekintve megfelelőknek, az így kapott szabályos háromszögek legyenek rendre

A_{1} B_{1} C_{1}

A_{2} B_{2} C_{2}

A_{3} B_{3} C_{3}

. A feladat szövegében idézett helyen bizonyítottuk, hogy az oldalegyenesek metszéspontjaként kapott szabályos háromszög középpontja szintén az eredeti háromszögek

O

középpontja. Ez természetesen mindegyik létrejövő szabályos háromszögre vonatkozik.
A sinus-tétel egyik ismeretes alakja szerint egy háromszögben egy oldal és a szemben levő szög sinusának aránya a köréje írt kör átmérőjével egyenlő. Mivel a szabályos háromszögek mindegyikében minden szög

60^{\circ}

, így a három vizsgálandó háromszög oldalának aránya a háromszögek köré írt körök sugarának arányával lesz egyenlő. Számítsuk ki az egyes körülírt körök

r_{1}

r_{2}

r_{3}

sugarát.
Ha

O

pontból a

B C

szakaszra merőlegest bocsátunk, az így kapott

O T

szakasz hossza az eredeti

A B C

háromszög köré irt kör

r

sugarának a fele, mert hiszen

O T

a teljes súlyvonal harmadrésze. Ha az elforgatott

B' C'

szakaszra húzunk merőlegest, az

O T'

és az előbbi

O T

szakaszok egymással bezárt szöge

α

lesz.
Ha az egymásnak megfelelő

A_{1}

A_{2}

A_{3}

, ill.

B_{1}

B_{2}

B_{3}

C_{1}

C_{2}

C_{3}

csúcsokat vizsgáljuk, akkor ezek rendre az ábra egy-egy szimmetria tengelyén helyezkednek el, a három egyenes mindegyikén

O

is rajta van.
A szimmetria miatt a

T O C_{2} ∢ = C_{2} O T' ∢ = \frac{α}{2}

. A

B_{1} O A_{1}

szög

120^{\circ}

, mert az

A_{1} B_{1} C_{1 Δ}

körülírt körében a megfelelő kerületi szög

60^{\circ}

. Így a szimmetria miatt

B_{1} O C_{2} ∢ = C_{2} O A_{1} ∢ = 60^{\circ}

.
A

B_{1} O T

derékszögű háromszögből:

\begin{matrix} r_{1} = \frac{\frac{r}{2}}{cos (60^{\circ} - \frac{α}{2})}, \end{matrix}

O T C_{2}

háromszögből:

\begin{matrix} r_{2} = \frac{\frac{r}{2}}{cos \frac{α}{2}}, \end{matrix}

s ugyanígy az

O T A_{3}

háromszögből

\begin{matrix} r_{3} = \frac{\frac{r}{2}}{cos (60^{\circ} + \frac{α}{2})} . \end{matrix}

A szabályos háromszögek oldalainak aránya a körülírt körök sugarainak arányával egyezik, vagyis az arány értéke az elforgatás szögének függvényeként:

\begin{matrix} \frac{1}{cos (60^{\circ} - \frac{α}{2})} : \frac{1}{cos \frac{α}{2}} : \frac{1}{cos (60^{\circ} + \frac{α}{2})} \end{matrix}