Feladat: 857. matematika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Székely Jenő 
Füzet: 1958/május, 135. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/november: 857. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1957 prímtényezőkre bontva 103⋅19. Mivel 103 és 19 relatív prímek, az adott kifejezés 1957-tel való oszthatóságát bizonyítjuk, ha a prímtényezőkkel való oszthatóságot külön-külön igazoljuk.
Kifejezésünk így is írható:

(17212n-732n)-(5212n-2122n).

Mindkét zárójeles kifejezés osztható az alapok különbségével. Az első zárójeles rész esetén az alapok különbsége 1648=16⋅103, a másodiknál 309=3⋅103.
Látható, hogy az egész kifejezés osztható 103-mal.
A kifejezést másképpen csoportosítva:
(17212n-5212n)+(2122n-732n).

A kitevők páros volta miatt mindkét zárójelben levő rész osztható az alapok összegével, az első tehát 2242=118⋅19-cel, a második 285=15⋅19-cel.
Mivel eszerint a kifejezés 19-cel is osztható, ezzel az 1957-tel való oszthatóságát is igazoltuk.
 

Székely Jenő (Pécs, Nagy Lajos g. I. o. t.)

 

Megjegyzés: Mintegy 30 megoldó úgy próbált bizonyítani, hogy kipróbálta a tétel helyességét n=1-re, 2-re, s ebből arra következtetett, hogy akkor már minden n-re igaz. Tudjuk, hogy ez a következtetés nem áll fenn. ‐ Az ilyen ,,megoldás''-okat természetesen nem fogadtuk el.