Kezdőlap


Feladat:	856. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Biborka Tamás , Gémesi Gabriella , Gereben Ildikó , Kisvölcsey Jenő
Füzet:	1958/május, 133 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/november: 856. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Vezessük be a $z = x - 4, 5$ ismeretlent, így egyenletünkből a következő egyenletet nyerjük

\begin{matrix} {(z - \frac{1}{2})}^{4} + {(z + \frac{1}{2})}^{4} = 97. \end{matrix}

Az átalakítás haszna az, hogy ha a két negyedik hatványban a hatványozást elvégezzük,

z

páros hatványainak együtthatói mindkettőben megegyeznek, páratlan hatványainak együtthatói pedig csak előjelben különböznek:

\begin{matrix} z^{4} - 2 z^{3} + \frac{3}{2} z^{2} - \frac{1}{2} z + \frac{1}{16} + z^{4} + 2 z^{3} + \frac{3}{2} z^{2} + \frac{1}{2} z + \frac{1}{16} = 97. \end{matrix}

Rendezve és a törteket eltávolítva:

\begin{matrix} 16 z^{4} + 24 z^{2} - 775 = 0. \end{matrix}

Így

z^{2}

-re másodfokú egyenletet kapunk. Az egyenlet megoldásakor csak a pozitív gyök szolgáltat valós megoldásokat, így

\begin{matrix} z^{2} = \frac{25}{4}, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} z_{1} = \frac{5}{2} = 2, 5. \\ z_{2} = - \frac{5}{2} = - 2, 5. \end{matrix}

A helyettesítés előtti

x = z + 4, 5

ismeretlenre visszatérve

\begin{matrix} x_{1} = 7, x_{2} = 2. \end{matrix}

Az egyenletbe való behelyettesítés mutatja, hogy a kapott gyökök valóban kielégítik az egyenletet.

Gereben Ildikó (Bp. XXI., Jedlik Ányos g. IV. o. t.)

Megjegyzés: Ha általában egy

\begin{matrix} {(a x - b)}^{4} + {(a x - c)}^{4} = k \end{matrix}

alakú egyenlet gyökeit kell megkeresnünk, a fenti megoldáshoz hasonlóan

z = a x - \frac{b + c}{2}

transzformációval az egyenlet

z^{2}

-ben másodfokúvá válik. Ezt a megoldásban a páratlan fokú tagok együtthatóira tett megjegyzésünk biztosítja.

II. megoldás: Ha az egyenletet nullára redukáljuk, polinom alakra hozzuk és

2

-vel egyszerűsítünk, akkor a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} x^{4} - 18 x^{3} + 123 x^{2} - 378 x + 392 = 0. \end{matrix}

Ha az egyenletnek van racionális gyöke, az csak egész lehet (mivel

x^{4}

együtthatója

1

), és csak a

392 = 2^{3} \cdot 7^{2}

osztóiból, vagyis a

\pm 1

\pm 2

\pm 4

\pm 7

...

számok közül kerülhet ki.
Behelyettesítéssel azt kapjuk, hogy az

x_{1} = 2

és az

x_{2} = 7

számok valóban gyökök.

(x - 2) (x - 7) = x^{2} - 9 x + 14

-gyel osztva az egyenletet, azt kapjuk, hogy a további gyökök csak az

\begin{matrix} x^{2} - 9 x + 28 = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei lehetnek. Mivel ennek az egyenletnek a diszkriminánsa negatív, egyenletünknek nincsen több valós megoldása.

Biborka Tamás (Makó, József A. g. I. o. t.)

III. megoldás: Az egyenlet jobboldalán álló számot könnyen fel tudjuk bontani két negyedik hatvány összegére:

\begin{matrix} 97 = {(\pm 2)}^{4} + {(\pm 3)}^{4} . \end{matrix}

Olyan

x

értéket kellene találni (ha egyáltalában van ilyen), amelynél az

x - 5

és

x - 4

számok valamelyike

+ 2

vagy

- 2

, a másik pedig

+ 3

vagy

- 3

. Próbálgatással hamar rájöhetünk, hogy az

x_{1} = 2

és

x_{2} = 7

számok megfelelnek a követelménynek.
A talált gyökökhöz tartozó gyöktényezőkkel végigosztva, a kapott másodfokú egyenlet nem szolgáltat további valós gyököket, amint ezt már az előző megoldásban láttuk.

Kisvölcsey Jenő (Bp. VIII., Piarista g. III. o. t.)

IV. megoldás: Amint már láttuk, egyenletünk a következő alakra hozható:

\begin{matrix} x^{4} - 18 x^{3} + 123 x^{2} - 378 x + 392 = 0. \end{matrix}

Mindkét oldalhoz

49

-et adva számolással meggyőződhetünk, hogy az így kapott egyenlet baloldala teljes négyzet:

\begin{matrix} {(x^{2} - 9 x + 21)}^{2} = 49. \end{matrix}

Ez akkor teljesül, ha

\begin{matrix} x^{2} - 9 x + 21 = 7, \end{matrix}

vagy akkor, ha

\begin{matrix} x^{2} - 9 x + 21 = - 7. \end{matrix}

Az elsőből

\begin{matrix} x_{1} = 2, x_{2} = 7. \end{matrix}

Viszont láttuk már, hogy az

x^{2} - 9 x + 28 = 0

másodfokú egyenletnek nincsenek valós gyökei.

Gémesi Gabriella (Bp. XVI. (Cinkota), Ált. lg. III. o. t.)