Kezdőlap


Feladat:	854. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Soós Sándor
Füzet:	1958/április, 111 - 112. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merőleges affinitás, Terület, felszín, Síkgeometriai szerkesztések, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/október: 854. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tudjuk, hogy az $a$ és $b$ fél nagy-, ill. kistengelyű ellipszis affinitásban van a vele egy-középpontú, $a$ sugarú körrel. Az ellipszis rendszerében levő idom területe a kör rendszerében levő idom területétől csak egy konstans szorzóban tér el. Tehát az ellipszis rendszerében maximális területű háromszög körrendszerbeli megfelelője ott szintén maximális területű lesz.
A körben egy olyan háromszög területe, amelynek egyik csúcsa a középpontban, másik kettő a körön van és amelyhez $ω$ középponti szög tartozik, $\frac{r^{2} sin ω}{2}$ . Ez pedig $ω = 90^{\circ}$ esetén maximális. A maximális területű háromszög itt tehát az egyenlő szárú derékszögű háromszög.

A megoldás menete (l. az ábrát): megszerkesztjük az ellipszissel affin kört, azután az adott

i

irány

i'

megfelelőjét. (Ha az

i

metszi az affinitás tengelyét, az ellipszis nagytengelyének hordozóját, akkor az

i

és a tengely metszéspontja helyben marad, az

i

iránynak az affinitás tengelyétől

b

távolságra levő pontja pedig a tengelyre merőleges rendezőn

a

távolságra lesz. Ha

i

párhuzamos a tengellyel, akkor

i'

is párhuzamos lesz, távolsága a tengelytől

\frac{a}{b}

-szeresére nő.)
Ezután megszerkesztjük a kör rendszerében az

i'

-vel párhuzamos alapú derékszögű háromszöget. Ez történhet úgy, hogy a középpontból az

i'

-re húzott merőlegestől a középpontban mindkét irányban

45^{\circ}

-ot mérünk. Az így kapott

O P' Q'

háromszög megfelelőjét a legegyszerűbben úgy szerkeszthetjük meg, hogy a

P' Q'

egyenesnek a tengellyel való metszéspontján át az

i

iránnyal párhuzamosat húzunk, s ez metszi ki a

P'

-n,

Q'

-n át húzott merőleges rendezőkből a

P

és

Q

pontokat. Ha

P' Q'

párhuzamos a tengellyel, akkor a rendezőket

\frac{b}{a}

-ad részükre csökkentjük.
A szerkesztés mindig elvégezhető s mivel egy háromszöggel együtt az

O

-ra való centrális tükörkép is megfelel a követelményeknek, feladatunknak mindig két megoldása van.

Soós Sándor (Ózd, József A. g. III. o. t.)