Kezdőlap


Feladat:	853. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gyene András
Füzet:	1958/április, 110 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körkúpok, Térfogat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/október: 853. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a közös átfogót $c$ -vel, azt a befogót, amely körül forgatjuk, $x$ -szel, a másikat $y$ -nal. A Pythagoras-tétel szerint:

\begin{matrix} x = \sqrt[]{c^{2} - y^{2}} . \end{matrix}

x

befogó a forgáskúp magassága, az

y

befogó az alapkörnek a sugara. A kúp köbtartalma

\begin{matrix} V = \frac{y^{2} π \sqrt[]{c^{2} - y^{2}}}{3} . \end{matrix}

Mivel a térfogat pozitív, a kapott (

y

-tól függő) kifejezésnek ugyanott van maximuma, ahol a

\begin{matrix} 9 π^{2} V^{2} = y^{4} (c^{2} - y^{2}) = y^{2} \cdot y^{2} \cdot (c^{2} - y^{2}) \end{matrix}

függvénynek. A maximum helyén az sem változtat, ha

2

-vel megszorozzuk a függvényt, viszont így elérjük, hogy a tényezők összege független lesz

y

-tól. Így az eredeti

V

térfogatnak ugyanott van maximuma, ahol az

\begin{matrix} y^{2} \cdot y^{2} \cdot (2 c^{2} - 2 y^{2}) \end{matrix}

függvénynek.
A három tényező összege állandó:

2 c^{2}

. A számtani ‐ mértani közép közti összefüggés alapján ez esetben a szorzat akkor lesz maximális, ha a tényezők egyenlőek:

\begin{matrix} y^{2} = 2 c^{2} - 2 y^{2}, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} y = c \sqrt[]{\frac{2}{3}} . \end{matrix}

A másik befogó akkor

\begin{matrix} x = \frac{c}{\sqrt[]{3}}, \end{matrix}

a maximális térfogat pedig

\begin{matrix} V_{max} = \frac{2 π \sqrt[]{3} c^{2}}{27} . \end{matrix}

Gyene András (Bp. V., Eötvös g. III. o. t.)