Kezdőlap


Feladat:	851. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh Judit
Füzet:	1958/április, 107 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt alakzatok, Szabályos sokszög alapú gúlák, Kocka, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/október: 851. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Legyen először a beírt kocka négy csúcsa egy-egy oldalélen. Ha két szemközti gúla-élen átfektetünk egy síkot, a gúlából ez egy háromszöget metsz ki, melynek a gúla alaplapjában levő oldala $a \sqrt[]{2}$ , a kockából pedig egy olyan téglalapot, melynek rövidebbik oldala a kocka $x$ éle, hosszabbik oldala pedig egy kockalap átlója: $x \sqrt[]{2}$ (l. az ábrát).

A létrejövő hasonló háromszögek magasságainak és oldalainak aránya megegyezik:

\begin{matrix} \frac{m - x}{\sqrt[]{2} x} = \frac{m}{\sqrt[]{2} a} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x = \frac{a m}{a + m} . \end{matrix}

A kocka térfogata:

\begin{matrix} V_{1} = {(\frac{a m}{a + m})}^{3} . \end{matrix}

b) Ha a kocka négy csúcsa egy-egy oldallap-magasságon van, akkor a kockánk tulajdonképpen egy

\frac{a}{\sqrt[]{2}}

oldalú négyzet alaplappal rendelkező,

m

magasságú gúlában helyezkedik el az a) részben megadott módon (egy

a

oldalú négyzet felezőpontjainak összekötésével kapott négyzet oldala Pythagoras tételével kiszámíthatóan

\frac{a}{\sqrt[]{2}}

). Így az előbbi eredményt alkalmazva a kocka térfogata:

\begin{matrix} V^{2} = {(\frac{\frac{a}{\sqrt[]{2}} m}{\frac{a}{\sqrt[]{2}} + m})}^{3} = {(\frac{a m}{a + \sqrt[]{2} m})}^{3} . \end{matrix}

A köbtartalmak aránya

m = a

esetén

\begin{matrix} V_{1} : V_{2} = \frac{a^{6}}{8 a^{3}} : \frac{a^{6}}{{(1 + \sqrt[]{2})}^{3} a^{3}} - {(\frac{1 + \sqrt[]{2}}{2})}^{3} = \frac{7 + 5 \sqrt[]{2}}{8} = \frac{7 + \sqrt[]{50}}{8} \approx 1, 759. \end{matrix}

Németh Judit (Kecskemét, Közg. t. III. o. t.)