Kezdőlap


Feladat:	848. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bognár László , Meskó Attila
Füzet:	1958/április, 101 - 102. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/október: 848. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát:

\begin{matrix} 4^{x} + \frac{17}{64} - 2 \sqrt[]{2 \cdot 4^{2 x} + (\frac{34}{64} - \frac{7}{64}) 4^{x} - \frac{7 \cdot 17}{64^{2}}} + 2 \cdot 4^{x} - \frac{7}{64} = 4^{x} - \frac{1}{16}, \end{matrix}

összevonás és rendezés után :

\begin{matrix} 2 \cdot 4^{x} + \frac{14}{64} = 2 \sqrt[]{2 \cdot 4^{2 x} + \frac{27}{64} \cdot 4^{x} - \frac{119}{64^{2}}} . \end{matrix}

Az egyenletet

2

-vel végigosztva és újra négyzetre emelve

4^{x}

-re a következő másodfokú egyenletet nyerjük:

\begin{matrix} 4^{2 x} + \frac{13}{64} \cdot 4^{x} - \frac{168}{64^{2}} = 0, \end{matrix}

ebből az oldóképlet szerint

\begin{matrix} 4^{x} = \frac{- \frac{13}{64} \pm \sqrt[]{{(\frac{13}{64})}^{2} + \frac{4 \cdot 168}{64^{2}}}}{2} = \frac{- 13 \pm \sqrt[]{169 + 672}}{128} = \frac{- 13 \pm 29}{128} . \end{matrix}

A negatív gyök nem megoldása a feladatnak, hiszen

4^{x}

semmilyen

x

-re nem lesz negatív. Az egyetlen megoldás tehát

\begin{matrix} 4^{x} = \frac{- 13 + 29}{128} = \frac{1}{8} = \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}} = 4^{- \frac{3}{2}}, \end{matrix}

ebből pedig

x = - \frac{3}{2}

.
Az eredeti egyenletbe behelyettesítve ellenőrízhetjük, hogy a kapott gyök valóban kielégíti az egyenletet.

Meskó Attila (Bp. VII., Madách g. IV. o. t.)

II. megoldás : Jelöljük az egyenletben szereplő gyökmennyiségeket

u

v

t

-vel:

\begin{matrix} \sqrt[]{4^{x} + \frac{17}{64}} = u, \sqrt[]{4^{x} - \frac{4}{64}} = v, \sqrt[]{2 \cdot 4^{x} - \frac{7}{64}} = t . \end{matrix}

Számolással könnyen látható, hogy a segédismeretlenek között a következő összefüggések állnak fenn:

\begin{matrix} u^{2} - v^{2} = \frac{21}{64}, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} z^{2} + v^{2} = t^{2} + \frac{20}{64} . \end{matrix}

(2)

Az eredeti egyenlet pedig átrendezve

\begin{matrix} u - v = t, \end{matrix}

ebből

t

értékét (2)-be helyettesítve:

\begin{matrix} u^{2} + v^{2} = u^{2} - 2 u v + v^{2} + \frac{20}{64} . \end{matrix}

Rendezés után

\begin{matrix} u v = \frac{10}{64}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} u^{2} v^{2} = \frac{100}{64^{2}} . \end{matrix}

Az (1) egyenletből helyettesítsük

u^{2}

értékét a most kapott egyenlőségbe, akkor

v^{2}

-re a következő másodfokú egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} {(v^{2})}^{2} + \frac{21}{64} v^{2} - {(\frac{10}{64})}^{2} = 0. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} v^{2} = \frac{- (\frac{21}{64}) \pm \sqrt[]{{(\frac{21}{64})}^{2} + 4 \cdot ({\frac{10}{64}}^{2})}}{2} = \frac{- 21 \pm \sqrt[]{441 + 400}}{128} = \frac{- 21 \pm 29}{128} . \end{matrix}

v^{2}

negatív nem lehet, tehát

v^{2} = \frac{8}{128}

.
Használjuk fel

v^{2}

eredeti értékét:

\begin{matrix} v^{2} = 4^{x} - \frac{4}{64} = \frac{8}{128}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} 4^{x} = \frac{8}{64} = \frac{1}{8} = 4^{- \frac{3}{2}}, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} x = - \frac{3}{2} . \end{matrix}

Bognár László (Veszprém, Lovassy g. III. o. t.)