Kezdőlap


Feladat:	845. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bender Cecilia , Katona Gyula
Füzet:	1958/március, 85 - 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/szeptember: 845. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az adott egyenlet akkor lesz egyenespár egyenlete, ha $y$ -t mint $x$ függvényét kifejezve belőle, $y$ -ra két elsőfokú egyenletet kapunk. Rendezzük tehát az egyenletet $y$ hatványai szerint és oldjuk meg:

\begin{matrix} y^{2} + 2 y (2 x - 1) + x (λ x - 4) - 3 = 0, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} y = \frac{- 2 (2 x - 1) \pm \sqrt[]{4 {(2 x - 1)}^{2} - 4 x (λ x - 4) + 12}}{2} \\ = 1 - 2 x \pm \sqrt[]{(4 - λ) x^{2} + 4} . \end{matrix}

A kapott egyenlet csak akkor lesz

x

-ben is elsőfokú, ha a gyökjel alatt álló kifejezésben

x^{2}

együtthatója

0

(hiszen a gyökalatti kéttagú kifejezést nem alakíthatjuk teljes négyzetté).
A megadott egyenlet tehát a

λ = 4

érték mellett jelent egyenespárt, az

y

-ra kapott kifejezésből a két egyenes egyenlete

\begin{matrix} y = - 2 x + 3 és y = - 2 x - 1. \end{matrix}

Katona Gyula (Bp. VIII., Kandó híradásip. t. III. o. t.)

II. megoldás: A két egyenesből álló ,,egyenespár'' (másszóval degenerált, elfajult kúpszelet) egyenlete az egyenesek egyenletének összeszorzásával állítható elő. A szóbanforgó egyenespár egyik egyenesének egyenlete sem lehet

x = a

(konstans) alakú, hiszen ezt az egyenletet egy másik,

x

-ben,

y

-ban elsőfokú egyenlettel összeszorozva

y^{2}

-es tagot nem kaphatunk. A két egyenes egyenlete tehát

y = m_{1} x + b_{1}

, illetőleg

y = m_{2} x + b_{2}

alakban írható. A két egyenesből alkotott degenerált kúpszelet egyenlete (a

0

-ra rendezett alakok összeszorzásával):

\begin{matrix} (y - m_{1} x - b_{1}) (y - m_{2} x - b_{2}) = \\ = m_{1} m_{2} x^{2} - (m_{1} + m_{2}) x y + y^{2} + (m_{1} b_{2} + m_{2} b_{1}) x - (b_{1} + b_{2}) y + b_{1} b_{2} = 0. \end{matrix}

Az adott és a most kapott egyenlet együtthatóinak összehasonlításából a következő egyenletekhez juthatunk:

\begin{matrix} m_{1} \cdot m_{2} & = λ, & - (b_{1} + b_{2}) & = - 2, \\ - (m_{1} + m_{2}) & = 4, & b_{1} b_{2} & = - 3, \\ m_{1} b_{2} + m_{2} b_{1} & = - 4. \end{matrix}

A kapott egyenletrendszerből az ismeretlenek kiszámíthatók. Az utolsó két egyenlet alapján

b_{1}

és

b_{2}

x^{2} - 2 x - 3 = 0

egyenlet két gyökeként adódik:

b_{1} = 3, b_{2} = - 1

. Ezeket felhasználva a második és harmadik egyenletből

m_{1} = m_{2} = - 2

. Ebből

λ = m_{1} m_{2} = 4

.
Az adott egyenlet tehát

λ = 4

érték mellett lesz egyenespár egyenlete.

m_{1}

m_{2}

b_{1}

b_{2}

ismeretében az egyenesek egyenletének összeszorzásával

[(y + 2 x - 3) \cdot (y + 2 x + 1) = 0]

ellenőrizhetjük, hogy a feladat megoldása valóban helyes eredményre vezetett.

Bender Cecilia (Bp. I., Szilágyi lg. III. o. t.)