Kezdőlap


Feladat:	843. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zombor Csaba
Füzet:	1958/március, 82 - 83. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/szeptember: 843. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Készítsünk vázlatot a feladathoz. A tornyok talppontja legyen $A$ és $B$ , csúcsuk $C$ és $D$ , a lejtő hajlásszöge a vízszinteshez $α$ .

A két torony:

A C = 42 m

B D = 56 m

. Jelöljük az

A B

szakasz látószögét a magasabbik torony csúcsából

ε

-nal, az alacsonyabb torony végpontjait a

B D

egyenesre vetítő

C F

és

A E

szakaszok közös hosszát

u

-val. A

C F D

A E D

és

A E B

derékszögű háromszögekből:

\begin{matrix} tg (φ + ε) = \frac{u}{66 - 42} = \frac{u}{24}, & (1) \\ tg ε = \frac{u}{66}, & (2) \\ ctg α = \frac{u}{10} . & (3) \end{matrix}

Alakítsuk át az (1) egyenletet és használjuk fel (2)-t:

\begin{matrix} tg (φ + ε) = \frac{tg φ + tg ε}{1 - tg φ tg ε} = \frac{tg φ + \frac{u}{66}}{1 - \frac{u}{66} tg φ} = \frac{66 tg φ + u}{66 - u tg φ} = \frac{u}{24} . \end{matrix}

A végeredményül kapott egyenlőséget szorozzuk meg a nevezők szorzatával és rendezzük:

\begin{matrix} u^{2} tg φ - 42 u + 1584 tg φ = 0. \end{matrix}

Hogy csak egy tagban szerepeljen

φ

szögfüggvénye, osszunk végig

tg φ

-vel, egyúttal

u

helyébe írjuk be a (3) egyenletből kifejezett

u = 10 ctg α

értéket:

\begin{matrix} 100 ctg^{2} α - 420 ctg φ ctg α + 1584 = 0, \end{matrix}

azaz

100

-zal végigosztva:

\begin{matrix} ctg^{2} α - 4, 2 ctg φ ctg α + 15, 84 = 0, \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} ctg α = \frac{4, 2 ctg φ \pm \sqrt[]{17, 64 ctg^{2} φ - 4 \cdot 15, 84}}{2} = 2, 1 ctg φ \pm \sqrt[]{4, 41 ctg^{2} φ - 15, 84} . \end{matrix}

Helyettesítsük be ide a logaritmustáblából leolvasott

ctg φ \approx 3, 495

értéket. Mivel ez már

3

tizedesjegyre kerekített érték, a többi számítást is

3

tizedes pontossággal végezzük, s így kapjuk, hogy

\begin{matrix} ctg α \approx 7, 339 \pm 6, 167. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} ctg α_{1} & \approx 13, 506, & α_{1} \approx 4^{\circ} 14', \\ ctg α_{2} & \approx 1, 173, & α_{2} \approx 40^{\circ} 27. \end{matrix}

A lejtő hajlásszöge tehát vagy

4^{\circ} 14'

, vagy

40^{\circ} 27'

. ‐ Az utóbbi érték a gyakorlat szempontjából eléggé irreális, hiszen

40^{\circ}

-os lejtőre nem szoktak tornyot építeni; a feladat szövege épp ezért említi, hogy sík lejtőről van szó. Megoldásnak voltaképpen tehát csak a

4^{\circ} 14'

-es hajlásszöget kell tekintenünk.

Zombor Csaba (Veszprém, Lovassy g. III. o. t.)