Kezdőlap


Feladat:	842. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sókuti Teréz
Füzet:	1958/március, 81 - 82. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/szeptember: 842. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel csak $1$ -től különböző, pozitív alapú logaritmust értelmezünk, szükséges, hogy $x$ és $a$ pozitív legyen, továbbá $x \neq 1, a, \frac{1}{a}$ .
Alakítsuk át egyenletünket az

\begin{matrix} {log}_{}^{m} b = \frac{{log}_{}^{n} b}{{log}_{}^{n} m} \end{matrix}

azonosság segítségével csupa

a

alapú logaritmussá.
Ha

a = 1

, akkor ez nem lehetséges, de akkor az egyenlet baloldalán minden tag

0

, tehát ebben az esetben minden

1

-től különböző pozitív

x

-re fennáll az egyenlet.
Ha

a \neq 1

, akkor a következő egyenletet kapjuk, amelyben a föltételek szerint egyik nevező sem

0

\begin{matrix} 12 {log}_{}^{a} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{12}{{log}_{}^{a}} \end{matrix}

A nevezőket eltávolítva

\begin{matrix} 12 {log}_{}^{a} \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} {log}_{}^{a} \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x_{1} = a^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{a}, x_{2} = a^{- \frac{1}{5}} - \frac{1}{\sqrt[5]{a}} . \end{matrix}

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy ezek a gyökök is kielégítik az egyenletet.

Sókuti Teréz (Tököl, Élelmiszerip. t. III. o. t.)