Kezdőlap


Feladat:	839. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Győry Kálmán , Papp Kálmán
Füzet:	1958/február, 56 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellipszis egyenlete, Kúpszeletek érintői, Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/május: 839. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük a középponti helyzetű ellipszis fél nagytengelyét $a$ -val, fél kistengelyét $b$ -vel, a fókusz távolságát a középponttól $c$ -vel, s a negyedellipszisen fölvett pont koordinátáit $x$ , $y$ -nal. Az ellipszis paraméteres egyenletrendszere

\begin{matrix} x = a cos t, y = b sin t . \end{matrix}

1. ábra

Az 1. ábráról leolvasható, hogy a kérdéses háromszög területét megkapjuk, ha a

b

és

y

párhuzamos oldalakkal és

x

magassággal rendelkező trapéz területéből levonjuk annak a derékszögű háromszögnek a területét, amelynek egyik befogója a fél kistengely és szemközti csúcsa

F

, továbbá levonjuk vagy hozzáadjuk (aszerint, hogy

x > c

vagy

x < c

) annak a derékszögű háromszögnek a területét, amelynek egyik csúcsa ugyancsak

F

és szemközti oldala az

y

ordináta. Mindkét esetben a

\begin{matrix} T = \frac{1}{2} [(b + y) x - b c - (x - c) y] = \frac{1}{2} (b x + c y - b c) = \frac{b}{2} (a cos t + c sin t - c) \end{matrix}

képlet adja a területet.
A terület a

t

paraméter függvénye és akkor lesz maximális, ha az

a cos t + c sin t

kifejezés maximális. Ez viszont a 827. feladat III. megoldása szerint (Középiskolai Mat. Lapok XVI. (1958.) 1. sz., 20. old.) akkor következik be, ha

a sin t = c cos t

, azaz (mivel

a sin t

és

c cos t

negyedellipszis esetén nem negatívok) akkor, ha

\begin{matrix} a^{2} sin^{2} t = c^{2} cos^{2} t = c^{2} - c^{2} sin^{2} t . \end{matrix}

A kapott egyenlőségből

\begin{matrix} sin^{2} t = \frac{c^{2}}{a^{2} + c^{2}}, vagyis sin t = \frac{c}{\sqrt[]{a^{2} + c^{2}}} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} cos t = \frac{a}{\sqrt[]{a^{2} + c^{2}}} . \end{matrix}

(Mindkét esetben elegendő a négyzetgyök pozitív értékét venni.)
A keresett ellipszispont koordinátái a paraméteres egyenletrendszer alapján

\begin{matrix} x = \frac{a^{2}}{\sqrt[]{a^{2} + c^{2}}}, y = \frac{b c}{\sqrt[]{a^{2} + c^{2}}} . \end{matrix}

Ezzel a maximális területű háromszög hiányzó csúcsát meghatároztuk.
A

T

-re kapott kifejezésből a maximális terület:

\begin{matrix} T_{max} = \frac{b}{2} (\frac{a^{2} + c^{2}}{\sqrt[]{a^{2} + c^{2}}} - c) . \end{matrix}

Ezzel feladatunkat megoldottuk.

Megjegyzés: Ha a

\frac{sin t}{cos t} = tg t = \frac{c}{a}

összefüggés alapján a maximális területhez tartozó

t

paraméter-szöget megszerkesztjük, a főkörrel való affinitás segítségével egyszerűen megszerkeszthetjük a szóbanforgó maximális területű háromszög hiányzó csúcsát is.

Papp Kálmán (Bp. IX., Fáy g. IV. o. t.)

II. megoldás: Legyen a középponti helyzetű ellipszis egyik fókusza

F

, a

b

fél kistengely végpontja

B

(2. ábra).

2. ábra

A berajzolandó háromszögek

B F

alapja közös, így annak a területe lesz maximális, melynek magassága a legnagyobb.
Nyilvánvaló, hogy a negyedellipszis pontjai körül a

B F

-fel párhuzamos érintőjének

E

érintési pontja van legtávolabb a

B F

szakasztól. A berajzolható háromszögek közül maximális területű tehát az

E B F

háromszög.

Győry Kálmán (Ózd, József A. g. III. o. t.)