Kezdőlap


Feladat:	838. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szatmári Gábor
Füzet:	1958/február, 55 - 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Parabola egyenlete, Terület, felszín, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/május: 838. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a téglalap parabolán fekvő csúcspontjainak koordinátái $x$ és $y = \pm \sqrt[]{2 p x}$ . Az ábráról leolvasható, hogy a keresett téglalap területe

\begin{matrix} T = 2 (a - x) \sqrt[]{2 p x} . \end{matrix}

Ennek ugyanott van maximuma, ahol

\begin{matrix} \frac{T^{2}}{4 p} = 2 x {(a - x)}^{2} = 2 x (a - x) (a - x) . \end{matrix}

A jobboldali három tényező összege

a

állandó, így a számtani és mértani közép közti ismert egyenlőtlenség szerint akkor lesz a szorzatuk maximális, ha a tényezők egyenlőek, vagyis

\begin{matrix} 2 x = a - x, x = \frac{a}{3} . \end{matrix}

A parabola egyenletéből a hozzátartozó ordináták:

y = \pm \sqrt[]{\frac{2 a p}{3}}

, és így a maximális terület

T_{max} = \frac{4 a}{3} \sqrt[]{\frac{2 a p}{3}}

Szatmári Gábor (Bp. VIII., Piarista g. II. o. t.)