Kezdőlap


Feladat:	834. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Megyesi László
Füzet:	1958/február, 48 - 49. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/május: 834. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Fel kell tennünk, hogy a szereplő törtek közül egyiknek a nevezője sem 0, hiszen akkor a feladatnak nincs értelme. Jelöljük a két egymással egyenlő tört értékét $t$ -vel és alakítsuk át őket:

\begin{matrix} \frac{a c - b^{2}}{a - 2 b + c} = \frac{a c - b c + b c - b^{2}}{a - b - b + c} = \frac{c (a - b) - b (b - c)}{(a - b) - (b - c)} = t, & (1) \\ \frac{b d - c^{2}}{b - 2 c + d} = \frac{b d - c d + c d - c^{2}}{b - c - c + d} = \frac{d (b - c) - c (c - d)}{(b - c) - (c - d)} = t . & (2) \end{matrix}

(1)-ből a nevezővel végigszorozva:

\begin{matrix} c (a - b) - b (b - c) = t (a - b) - t (b - c), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (c - t) (a - b) = (b - t) (b - c) . \end{matrix}

(3)

(2)-ből hasonlóképpen

\begin{matrix} (d - t) (b - c) = (c - t) (c - d) . \end{matrix}

(4)

Szorozzuk össze (3)-at és (4)-et:

\begin{matrix} (c - t) (a - b) (d - t) (b - c) = (b - t) (b - c) (c - t) (c - d) . \end{matrix}

Egyszerűsíthetünk

(b - c)

-vel, hiszen

b \neq c

. De egyszerűsíthetünk

(c - t)

-vel is, mert ha

c - t = 0

volna, akkor (3)-ból

b - t

szintén nulla volna, e kettőből pedig

b = c

következnék. Tehát:

\begin{matrix} (a - b) (d - t) = (b - t) (c - d) . \end{matrix}

Ebből kifejezhetjük a két tört közös értékét, hiszen

a - b - c + d

a megoldás elején tett megkötés miatt nem 0:

\begin{matrix} d (a - b) - t (a - b) = b (c - d) - t (c - d), \\ t = \frac{d (a - b) - b (c - d)}{(a - b) - (c - d)} = \frac{a d - b c}{a - b - c + d} . \end{matrix}

Ezzel igazoltuk a feladat állítását.

Megyesi László (Makó, József A. g. III. o. t.)

II. megoldás: Fel kell tennünk, hogy a két tört nevezője nem 0. Ekkor a nevezők szorzatával átszorozva az egyenlőséget és 0-ra redukálva azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} 0 & = a b c - b^{3} - 2 a c^{2} + 2 b^{2} c + a c d - b^{2} d - a b d + a c^{2} + 2 b^{2} d - 2 b c^{2} - b c d + c^{3} = \\ = a b c - b^{3} - a c^{2} + 2 b^{2} c + a c d + b^{2} d - a b d - 2 b c^{2} - b c d + c^{3} = \\ = a b c - a c^{2} - b^{3} + b^{2} c + b^{2} c - b c^{2} + a c d - a b d + b^{2} d - b c d - b c^{2} + c^{3} = \\ = (b - c) (a c - b^{2} + b c - a d + b d - c^{2}) . \end{matrix}

Mivel feltétel szerint

b \neq c

, így a nyert összefüggésből

\begin{matrix} a c - b^{2} + b d - c^{2} = a d - b c, \end{matrix}

vagyis a két egyenlő tört számlálójának összege a harmadik tört számlálóját adja. De hasonló érvényes a nevezőre is:

\begin{matrix} a - 2 b + c + b - 2 c + d = a - b - c + d . \end{matrix}

Általában, ha három törtre:

\frac{h}{i}

\frac{j}{k}

\frac{l}{m}

-re

\begin{matrix} \frac{h}{i} = \frac{j}{k}, h + j = l és i + k = m \neq 0, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} \frac{l}{m} = \frac{h}{i} = \frac{j}{k} . \end{matrix}

Ha ugyanis

h \neq 0

, akkor az első egyenlőtlenségből

\frac{k}{i} = \frac{j}{h}

. Ezt az arányt

α

-val jelölve

j = α h

k = α i

, így

\begin{matrix} l = h + j = (1 + α) h, m = i + k = (1 + α) i (\neq 0) \end{matrix}

tehát

1 + α \neq 0

és így

\begin{matrix} \frac{l}{m} = \frac{(1 + α) h}{(1 + α) i} = \frac{h}{i} = \frac{j}{k} . \end{matrix}

Ezzel igazoltuk állításunkat. Ebből speciálisan adódik a feladat állítása is.