Kezdőlap


Feladat:	833. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Győry Kálmán
Füzet:	1958/február, 47 - 48. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/május: 833. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A lovak száma legyen $x$ , a kacsáké $y$ , a teheneké $z$ $(x > z)$ .
A feladat szerint

\begin{matrix} z = \frac{x + y}{3} \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} x + 4 x + y + 2 y = 100. \end{matrix}

(2)

A (2) egyenletet átrendezve és felhasználva (1) értékét kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 x + 3 (x + y) = 2 x + 9 z = 100, \end{matrix}

(3)

ebből

\begin{matrix} x = \frac{100 - 9 z}{2} = 50 - 4 z - \frac{z}{2} . \end{matrix}

Mivel

x

egész szám, kell, hogy

z

2-vel osztható legyen, s így a

z = 2 u

jelöléssel (

u

egész szám)

\begin{matrix} x = 50 - 9 u . \end{matrix}

Az (1) egyenletből

\begin{matrix} y = 15 u - 50. \end{matrix}

y

-nak pozitívnak kell lennie, tehát

\begin{matrix} 15 u - 50 > 0, \\ u > \frac{50}{15} > 3. \end{matrix}

Mivel

x

is pozitív, így a (3) egyenletből

\begin{matrix} 9 z < 100, \\ z \leq 11 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} u \leq 5. \end{matrix}

u

lehetséges értékei tehát 4 és 5.

\begin{matrix} Első esetben & x = 14, & y = 10, & z = 8; \\ másodikban & x = 5, & y = 25, & z = 10. \end{matrix}

Mivel a feladat szövege szerint a lovak száma nagyobb a kacsák számánál, azért csak az első eset felel meg. Tehát a tanyán 8 tehén van.

II. megoldás: Az előbbi jelöléseket használva a (2) egyenletből

\begin{matrix} 2 x - 1 = 99 - 3 (x + y) = 9 (11 - \frac{x + y}{3}) = 9 (11 - z) \end{matrix}

(utolsó lépésben az (1) egyenletet használtuk föl).

2 x - 1

tehát páratlan és 9-cel osztható pozitív egész szám.
Mivel

y

pozitív, ezért (2)-ből:

\begin{matrix} x < \frac{100}{5} = 20, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 2 x - 1 < 39. \end{matrix}

9-cel osztható páratlan szám 39-ig kettő van: 9 és 27. Ha

2 x - 1 = 9

, akkor

x = 5

és

y = 25

adódik, ez nem felel meg az

x > y

feltételnek; ha

2 x - 1 = 27

x = 14

, s így ugyanazt a megoldást kaptuk, mint az előbb: 14 ló, 10 kacsa és 8 tehén van a tanyán.

Győry Kálmán (Ózd, József A. g. III. o. t.)