Kezdőlap


Feladat:	832. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gyene András , Szász Domokos
Füzet:	1958/január, 26 - 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/május: 832. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Vonjuk ki az első egyenlet négyzetéből a második egyenletet, akkor a

\begin{matrix} 4 x^{2} y z + 6 x y^{2} z + 12 x y z^{2} + 18 y^{2} z^{2} = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk. Felhasználva az első egyenletet, alakítsuk át ezt a kifejezést szorzattá:

\begin{matrix} 4 x^{2} y z + 6 x y^{2} z + 12 x y z^{2} + 18 y^{2} z^{2} = 2 y z (2 x^{2} + 3 x y + 6 x z + 9 y z) = \\ = 2 y z (2 x^{2} - 18) = 4 y z (x^{2} - 9) = 0. \end{matrix}

Egy szorzat értéke akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, vagyis egyenletünknek akkor van megoldása, ha az

\begin{matrix} a) y = 0, b) z = 0, c) x^{2} - 9 = 0 \end{matrix}

esetek egyike áll fenn.
Vizsgáljuk meg ezeket az eseteket külön‐külön.

a) Ha az

y = 0

értéket az első egyenletbe helyettesítjük, kapjuk, hogy

2 x z = - 6

, azaz

x z = - 3

. A második egyenletbe helyettesítve az

x^{2} z^{2} = 9

, a harmadik egyenletbe helyettesítve pedig a

x^{3} z^{3} = - 27

értékeket kapjuk. Azonnal látható, hogy ha az első egyenletbe történt helyettesítésnél kapott feltétel teljesül, akkor a többi is, tehát minden olyan értékhármas kielégíti az egyenletrendszert, amelyben

y = 0

és

x z = - 3

.
b) Legyen

z = 0

. Az előbbi módon eljárva azt kapjuk, hogy az egyenletrendszert olyan értékhármasok is kielégítik, amelyekben

z = 0

és

x y = - 6

.
c) Ha

x^{2} - 9 = 0

, akkor

x = \pm 3

. Legyen először

x = 3

. Ezt az értéket az első egyenletbe helyettesítve, kapjuk, hogy

\begin{matrix} 3 y + 6 z + 3 y z = - 6, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} y + 2 z + y z + 2 = y (z + 1) + 2 (z + 1) = (y + 2) (z + 1) = 0. \end{matrix}

Tehát ha

x = 3

és

y = - 2

, akkor

z

tetszőleges értéket vehet fel, és hasonlóan ha

x = 3

és

z = - 1

, akkor

y

vehet fel tetszőleges értéket.
Legyen most

x = - 3

, ekkor az első egyenlet

\begin{matrix} - 3 y - 6 z + 3 y z = - 6, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} - y - 2 z + y z + 2 = y (z - 1) - 2 (z - 1) = (y - 2) (z - 1) = 0. \end{matrix}

Tehát ha

x = - 3

és

y = 2

, illetve

x = - 3

és

z = 1

, akkor

z

, illetve

y

tetszőleges értékű lehet.
Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy a talált gyökök a másik két egyenletet is kielégítik.
Eredményeinket összefoglalva a következőket állapíthatjuk meg: Az egyenletrendszernek végtelen sok gyökhármas tesz eleget, amelyek között a következő összefüggések állanak fenn:

y = 0

x

és

z

egyike tetszőleges, de

x z = - 3

.
2.

z = 0

x

és

y

egyike tetszőleges, de

x y = - 6

.
3.

x = 3

y = - 2

és

z

tetszőleges.
4.

x = - 3

y = 2

és

z

tetszőleges.
5.

x = 3

z = - 1

és

y

tetszőleges.
6.

x = - 3

z = 1

és

y

tetszőleges.

Behelyettesítéssel könnyen meggyőződhetünk arról, hogy az így alkotott gyökhármasok valóban kielégítik az egyenletrendszert.

Szász Domokos (Bp. V., Eötvös g. II. o. t.)

II. megoldás: Vezessük be a következő jelöléseket:

\begin{matrix} x y = a, 2 x z = b és 3 y z = c . \end{matrix}

Egyenletrendszerünk ekkor a következő alakot veszi fel:

\begin{matrix} a + b + c & = - 6 \\ a^{2} + b^{2} - c^{2} & = 36 \\ a^{3} + b^{3} + c^{3} & = - 216. \end{matrix}

Használjuk fel a következő könnyen igazolható azonosságot:

\begin{matrix} {(a + b + c)}^{3} - (a^{3} + b^{3} + c^{3}) = 3 (a + b) (b + c) (c + a) . \end{matrix}

(lásd pl. Matematikai Szakköri Feladatgyűjtemény c. szakköri füzet, Tankönyvkiadó 1953, 60. old. 23. p.).
Mivel esetünkben

\begin{matrix} {(a + b + c)}^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} = - 216, \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} {(a + b + c)}^{3} - (a^{3} + b^{3} + c^{3}) = 3 (a + b) (b + c) (c + a) = 0. \end{matrix}

Ez csak úgy áll fenn, ha valamely zárójeles kifejezés nulla. Vegyük sorra az eseteket:
1. Ha

c + a = 0

, vagyis

c = - a

, ekkor a második egyenletből

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} - a^{2} = 36, \\ b = \pm 6. \end{matrix}

Mivel a pozitív gyök a harmadik egyenletet nem elégíti ki, így a következő gyökökhöz jutunk:

\begin{matrix} a & = x y = k (tetszőleges) & (1) \\ b & = 2 x z = - 6 & (2) \\ c & = 3 y z = - k . & (3) \end{matrix}

k = 0

eset csak akkor állhat fenn, ha

y = 0

és ekkor

x z = - 3

, vagyis

x

és

z

egyikének tetszőleges megválasztásával a másik ‐ mivel szorzatuk adott ‐ már egyértelműen meghatározott.
Ha

k \neq 0

, akkor az (1) egyenletet a (3) egyenlettel elosztva az

x = - 3 z

egyenlethez jutunk. Helyettesítsük

x

értékét (2)-be, ekkor

z = \pm 1

.
A gyökök tehát:

\begin{matrix} x = \pm 3, z = \mp 1, y tetszőleges . \end{matrix}

2. Ha

b + c = 0

, vagyis

b = - c

, akkor az előző esethez teljesen hasonlóan

a = - 6

, és

\begin{matrix} a & = x y = - 6 \\ b & = 2 x z = m (tetszőleges) \\ c & = 3 y z = - m . \end{matrix}

m = 0

, akkor

z = 0

és

x y = - 6

(vagyis

x

és

y

egyike tetszőleges, de szorzatuk

- 6

).
Ha

m \neq 0

, akkor

\begin{matrix} x = \pm 3, y = \mp 2 és z tetszőleges . \end{matrix}

3. Ha

a + b = 0

, vagyis

a = - b

, akkor a harmadik egyenletből

c = - 6

, de ebben az esetben a második egyenlet nem teljesül, tehát

\begin{matrix} a + b = x y + 2 x z \neq 0. \end{matrix}

Ez az eset tehát újabb gyököket már nem szolgáltat.
Látható, hogy pontosan ugyanazokat a gyökrendszereket kaptuk meg, mint az I. megoldásban.

Gyene András (Bp. VIII., Széchenyi g. II. o. t.)