Kezdőlap


Feladat:	831. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fanta Katalin , Máthé Csaba , Sárközy András
Füzet:	1958/január, 24 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/május: 831. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mindkét oldalt 2-vel osztva

\begin{matrix} x^{4} + 2 x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} = 0. \end{matrix}

Ebben az esetben teljesül annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az

x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0

negyedfokú egyenlet másodfokúra redukálható legyen (l. Középiskolai Mat. Lapok XI. kötet 2. sz. 57. o. a 656. feladatban):

\begin{matrix} a^{3} - 4 a b + 8 c = 8 - 12 + 4 = 0. \end{matrix}

Az ott közöltek szerint az

x = z - \frac{a}{4} = z - \frac{1}{2}

transzformációval egyenletünk másodfokú lesz:

\begin{matrix} {(z - \frac{1}{2})}^{4} + 2 {(z - \frac{1}{2})}^{3} + \frac{3}{2} {(z - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} (z - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = z^{4} - \frac{9}{16} = 0, \\ z^{4} = \frac{9}{16} . \end{matrix}

Ebből a valós gyökök

\begin{matrix} z_{1} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} és z_{2} = - \frac{\sqrt[]{3}}{2}, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} x_{1} = z_{1} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2} és x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

Ezzel megtaláltuk a kitűzött egyenlet valós gyökeit.

Sárközy András (Gyöngyös, Vak Bottyán g. III. o. t.)

II. megoldás: Rendezzük át az egyenletet:

\begin{matrix} 2 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} + x^{2} + x - 1 = 0. \end{matrix}

Kiemelés után:

\begin{matrix} 2 x^{2} (x^{2} + 2 x - 1) + x (x + 1) - 1 = 0, \\ 2 {[x (x + 1)]}^{2} + x (x + 1) - 1 = 0. \end{matrix}

x (x + 1) = y

helyettesítéssel

\begin{matrix} 2 y^{2} + y - 1 = 0, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} y_{1} = \frac{1}{2}, y_{2} = - 1. \end{matrix}

x (x + 1) = y

egyenlőségbe helyettesítve

x

-re két egyenletet kapunk:

\begin{matrix} x^{2} + x - \frac{1}{2} = 0 és x^{2} + x + 1 = 0. \end{matrix}

A második egyenlet diszkriminánsa negatív, nincsenek valós gyökei, az első egyenlet gyökei megadják az I. megoldásban talált értékeket.

Fanta Katalin (Szombathely, Kanizsai D. lg. III. o. t.)

III. megoldás: Adjunk hozzá az egyenlet baloldalához

x^{2} + x

-et és vonjunk is le ugyanannyit, s utána rendezzük át az egyenletet:

\begin{matrix} 2 x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} - x - 1 = 0, \\ 2 x^{2} (x^{2} + x + 1) + 2 x (x^{2} + x + 1) - (x^{2} + x + 1) = 0. \end{matrix}

Kiemelve:

\begin{matrix} (x^{2} + x + 1) (2 x^{2} + 2 x - 1) = 0, \end{matrix}

s innen vagy

\begin{matrix} x^{2} + x + 1 = 0, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 2 x^{2} + 2 x - 1 = 0. \end{matrix}

Ugyanazokat az egyenleteket kaptuk, mint a II. megoldás végén, a valós gyökökre ugyanazokat az értékeket nyerjük.

Máthé Csaba (Győr, Révay g. I. o. t.)