Kezdőlap


Feladat:	829. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gáspár János , Tatai Péter
Füzet:	1958/január, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Menelaosz-tétel, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/április: 829. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Húzzuk meg az $F B$ és $A D$ szakaszokat (l. az ábrát).

Ezek egymással párhuzamosak, mivel

A K

és

D K

oldalak egyaránt

(n - 1)

részre vannak felosztva, s az

F

és

B

, ill.

A

és

D

megfelelő osztópontok. Így a hasonló

K A D

és

K F B

háromszögekből felírhatjuk:

\begin{matrix} \frac{A D}{F B} = (n - 1) : 1. \end{matrix}

Viszont

C D A_{▵} \sim C F B_{▵}

(szögeik egyeznek). Ezért:

\begin{matrix} \frac{A C}{C B} = \frac{A D}{F B}, \end{matrix}

s ezt a fentivel egybevetve

\frac{A C}{C B} = (n - 1) : 1

.
Ez pedig épp azt igazolja, hogy

C B

A B

szakasz

n

-edrésze.

Gáspár János (Dombóvár, Gőgös I. g. IV. o. t.)

II. megoldás: Írjuk fel a Menelaos‐tételt

A K B_{▵}

-re és

F D

szelőre, gondosan ügyelve az irányítás szerinti előjelekre:

\begin{matrix} (A K F) (K B D) (B A C) = - 1, \end{matrix}

részletesen:

\begin{matrix} \frac{(n - 2) u}{u} \cdot (- \frac{(n - 1) K B}{(n - 2) K B}) \cdot \frac{B C}{C A} = - 1, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} (n - 1) B C = C A, n \cdot B C = C A + B C = A B, \\ B C = \frac{A B}{π} . \end{matrix}

Tatai Péter (Bp. XIV., I. István g. II. o. t.)