Kezdőlap


Feladat:	828. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Győry Kálmán , Kovács Ildikó
Füzet:	1958/január, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Euler-egyenes, Körülírt kör, Feuerbach-kör, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/április: 828. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A megoldáshoz felhasználjuk azt az ismert tényt, hogy az $M$ magasságpont, $S$ súlypont és a körülírható kör $O$ középpontja egy egyenesen: az ún. Euler‐egyenesen vannak, mégpedig úgy, hogy

\begin{matrix} M S = 2 S O . \end{matrix}

Ezek alapján az ismert

M S

szakaszból

M O

szerkeszthető. Így az

A M O

háromszög is szerkeszthető, mert mindhárom oldala ismert. Tekintve, hogy

M

pontnak az oldalakra vonatkozó tükörképe a körülírt körön van, az

A M

egyenes körülírt körrel való másik metszéspontja és az

M

közti szakasz felezőmerőlegese metszi ki a körből a

B

és

C

csúcsokat (1. ábra).

1. ábra

B C

oldalt megszerkeszthetjük másképpen is: az

A S

súlyvonal folytatására rámérjük

S

-től az

A S

távolság felét, így megkapjuk a

B C

oldal

F

felezőpontját, ebből az

A M

-re húzott merőleges lesz a

B C

oldal.
Egy megoldás lehetséges. A megoldhatóság feltétele nyilván egyrészt az, hogy az

A M O

háromszög szerkeszthető legyen, vagyis az oldalaira igazak legyenek a háromszög‐egyenlőtlenségek. Másrészt pedig az, hogy az

F

pont a kör belsejébe essék.

Kovács Ildikó (Szeged, Tömörkény lg. III. o. t.)

II. megoldás: A háromszög Feuerbach‐körének a tulajdonságait fogjuk felhasználni a szerkesztéshez. Ismeretes, hogy az

M

magasságpont, a Feuerbach‐kör

F

középpontja és az

S

súlypont egy egyenesen vannak, mégpedig úgy, hogy

\begin{matrix} M F = 2 F S, \end{matrix}

azonkívül a Feuerbach‐kör sugara a körülírt kör sugarának a fele. A Feuerbach‐kör átmegy a magasságok talppontjain és az

A M

távolság

D

felezőpontján (2. ábra).

2. ábra

Ilyenformán az

M F D

háromszög szerkeszthető: oldalai ismertek. A háromszög megszerkesztése után megrajzoljuk

\frac{r}{2}

sugárral a Feuerbach‐kört. Az

A

csúcsot megkapjuk, ha

M

-et tükrözzük

D

-re. Az

A M

egyenesnek a körrel való másik metszéspontja az

A

-ból húzott magasság talppontja, erre állított merőleges a

B C

oldal irányát adja. Az

A M

fölé rajzolt Thales‐kör kimetszi a Feuerbach‐féle körből a másik két talppontot, s az

A

csúcsot a talppontokkal összekötve megkapjuk a

B

és

C

pontokat.
Van megoldása a feladatnak, ha egyrészt az

M F D

háromszög megszerkeszthető, másrészt pedig ha a

T_{1}

T_{2}

T_{3}

talppontok léteznek.

Győry Kálmán (Ózd, József A. g. III. o. t.)