Kezdőlap


Feladat:	827. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pásztor Erzsébet , Szatmári Zoltán , Wollner Róbert
Füzet:	1958/január, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Trigonometriai azonosságok, Ellipszis egyenlete, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/április: 827. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Átalakíthatjuk $f (t)$ -t egyetlen szög sinusának konstansszorosává, ha találunk egy olyan $λ$ állandót, amelyre az

\begin{matrix} f (t) = λ (\frac{a}{λ} sin t + \frac{b}{λ} cos t) \end{matrix}

átalakításban

\frac{a}{λ}

és

\frac{b}{λ}

ugyanannak a szögnek sinusa és cosinusa; ehhez pedig az kell csak, hogy a kettő négyzetösszege 1 legyen, azaz

\begin{matrix} λ = \sqrt[]{a^{2} + b^{2}} . \end{matrix}

Ez esetben (figyelembe véve

a

és

b

előjelét is) egyértelműen meg van határozva az a

0

és

2 π

közé eső

φ

szög, amelyre

\begin{matrix} cos φ = \frac{a}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}}, sin φ = \frac{b}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} f (t) = \sqrt[]{a^{2} + b^{2}} sin (t + φ) . \end{matrix}

Ez akkor veszi fel a maximumát, ha

\begin{matrix} sin (t + φ) = 1, \end{matrix}

azaz 0 és

2 π

közé eső

t

-re

φ \leq \frac{π}{2}

esetén akkor, ha

\begin{matrix} t = \frac{π}{2} - φ, \end{matrix}

\frac{π}{2} < φ \leq 2 π

esetén akkor, ha

\begin{matrix} t = \frac{5 π}{2} - φ . \end{matrix}

A maximum értéke

\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}

Pásztor Erzsébet (Makó, József A. g. III. o. t.)

II. megoldás: Arra az esetre adunk új megoldást, mikor

a

b > 0

. A centrálisan elhelyezkedő ellipszis paraméteres egyenlete:

x = b cos t

y = a sin t

, ha az

X

tengelyre eső tengely hossza

2 b

, az

Y

tengelyre eső tengely hossza pedig

2 a

. Feladatunk azt kívánja, hogy állapítsuk meg az ellipszis pontjaihoz tartozó koordináták összegének maximumát.
Azon pontok mértani helye, amelyek koordinátáinak összege egy

d

állandó, egyenes, melyek egyenlete

y = - x + d

. Meg kell keresnünk azt a legnagyobb

d

értéket, amelynél az előbbi egyenesnek még van az

\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1

ellipszissel közös pontja, vagyis azt a

d

értéket kell meghatároznunk, amelynél az

y = - x + d

egyenes érinti az

\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1

ellipszist. Helyettesítsük be az ellipszis egyenletébe

y - t

, és rendezzünk

x

hatványai szerint:

\begin{matrix} (a^{2} + b^{2}) x^{2} - 2 b^{2} d x + b^{2} d^{2} + a^{2} b^{2} = 0. \end{matrix}

A szóban forgó egyenes akkor érintő, ha a másodfokú egyenletnek két egyenlő gyöke van, vagyis a diszkriminánsa nulla, azaz

\begin{matrix} 4 b^{4} d^{2} + 4 a^{4} b^{2} - 4 a^{2} b^{2} d^{2} + 4 a^{2} b^{4} - 4 b^{4} d^{2} = 0. \end{matrix}

Ebből, mivel

4 a^{2} b^{2} \neq 0, a^{2} + b^{2} = d^{2}

.
Ennek alapján

\begin{matrix} f {(t)}_{max} = {(a sin t + b cos t)}_{max} = {(y + x)}_{max} = {(d)}_{max} = \sqrt[]{a^{2} + b^{2}} . \end{matrix}

Wollner Róbert (Szeged, Radnóti g. IV. o. t.)

III. megoldás: A függvény szélső értékének helye nem változik meg azáltal, hogy a függvényt négyzetre emeljük:

\begin{matrix} y & = f^{2} (t) = a^{2} sin^{2} t + 2 a b sin t cos t + b^{2} cos^{2} t = \\ = a^{2} (1 - cos^{2} t) + 2 a b sin t cos t + b^{2} (1 - sin^{2} t) = \\ = a^{2} + b^{2} - {(a cos t - b sin t)}^{2} . \end{matrix}

y (t)

függvény maximuma ott van, ahol a zárójelben levő kifejezés nulla, és a maximuma ekkor

y {(t)}_{max} = a^{2} + b^{2}

. Tehát a keresett függvény maximuma

\begin{matrix} f {(t)}_{max} = \sqrt[]{a^{2} + b^{2}} . \end{matrix}

Szatmári Zoltán (Bp. VIII., Piarista g. IV. o. t.)