Kezdőlap


Feladat:	826. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pődör Bálint
Füzet:	1958/január, 17 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/április: 826. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy $A$ és $B$ nem 0, mert ha valamelyik is 0, már közismert függvény maximumát kell megállapítani.

Fejezzük ki f

(t)

-t a

t

szögfüggvényeivel:

\begin{matrix} f (t) = A sin t + B sin 2 t = A sin t + 2 B sin t cos t = sin t \cdot (A + 2 B cos t) . \end{matrix}

Mivel csak az

f (t) \geq 0

értékeket vizsgáljuk, ezért

f (t)

helyett vizsgálhatjuk a

g (t) = f^{2} (t)

függvényt.

f (t)

és

g (t

) ugyanazokon a helyeken veszi fel a maximumát.

\begin{matrix} g (t) = sin^{2} t {(A + 2 B cos t)}^{2} = (1 - cos^{2} t) {(A + 2 B cos t)}^{2} = \\ = & (1 - cos t) (1 + cos t) (A + 2 B cos t) (A + 2 B cos t) . \end{matrix}

A függvény maximumának helye nem változik meg, ha itt az első és második tényezőt egy-egy pozitív

m

, illetőleg

n

tényezővel megszorozzuk. Próbáljuk ezeket úgy megválasztani, hogy a négy tényező összege

t

-től független, azaz állandó legyen. Ezesetben

g (t)

maximumát akkor éri el, amikor a tényezők egyenlőek.
Az összeg

\begin{matrix} (4 B - m + n) cos t + m + n + 2 A . \end{matrix}

t

-től független, ha

\begin{matrix} 4 B - m + n = 0. \end{matrix}

(1)

A tényezők akkor egyenlők, ha pl.

\begin{matrix} m (1 - cos t) = A + 2 B cos t, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} m = \frac{A + 2 B cos t}{1 - cos t} \end{matrix}

és

\begin{matrix} n (1 + cos t) = A + 2 B cos t, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} n = \frac{A + 2 B cos t}{1 + cos t} . \end{matrix}

Helyettesítsük

n

és

m

értékét (1)-be:

\begin{matrix} \frac{A + 2 B cos t}{1 + cos t} - \frac{A + 2 B cos t}{1 - cos t} + 4 B = 0. \end{matrix}

Rendezve:

\begin{matrix} 4 B cos^{2} t + A cos t - 2 B = 0. \end{matrix}

A másodfokú egyenlet gyökei

\begin{matrix} {(cos t)}_{1,2} = \frac{- A \pm \sqrt[]{A^{2} + 32 B^{2}}}{8 B} . \end{matrix}

Tehát

g (t)

-nek ‐ és akkor

f (t)

-nek is ‐ maximuma a

cos t

fenti értékeinél lép fel.
Ekkor a maximum:

\begin{matrix} f {(t)}_{max} = A sin t (A + 2 B cos t) = \pm \sqrt[]{1 - cos^{2} t} (A + 2 B cos t) = \\ = & \pm \sqrt[]{1 - \frac{{(- A \pm \sqrt[]{A^{2} + 32 B^{2}})}^{2}}{64 B^{2}}} (A + 2 B \cdot \frac{- A \pm \sqrt[]{A^{2} + 32 B^{2}}}{8 B}) = \\ = & \pm \frac{\sqrt[]{32 B^{2} \pm 2 A \sqrt[]{A^{2} + 32 B^{2}} - 2 A^{2}} \cdot (3 A \pm \sqrt[]{A^{2} + 32 B^{2}})}{32 B} = \\ = & \pm \frac{\sqrt[]{(3 A \pm \sqrt[]{A^{2} + 32 B^{2}}) (- A \pm \sqrt[]{A^{2} + 32 B^{2}})} (3 A \pm \sqrt[]{A^{2} + 32 B^{2}})}{32 B} = \\ = & \pm \frac{\sqrt[]{{(3 A \pm \sqrt[]{A^{2} + 32 B^{2}})}^{3} (- A \pm \sqrt[]{A^{2} + 32 B^{2}})}}{32 B} . \end{matrix}

B

pozitív, akkor a tört előtti pozitív előjel, ha

B

negatív, akkor a negatív előjel érvényes. A gyökjel alatt pozitív értéknek (esetleg 0-nak) kell állni. Ezért a gyökjel alatti előjelet úgy kell megválasztani

A

és

B

értékétől függően, hogy a két tényező előjele mindig azonos legyen.

Pödör Bálint (Bp. II., Rákóczi g. III. o. t.)