A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Az ellipszis egy , koordinátájú pontjában (l. az 1. ábrát) húzott érintő egyenlete azaz tengelymetszetes alakban írva
1. ábra A feladat szerint az érintő tengelymetszetei egyenlőek: azaz Felhasználhatjuk még, hogy az pont rajt van az, ellipszisen: Az (1) és (2) egyenletekből kiszámíthatjuk az , értékét: Ez , az origóra szimmetrikus érintési pontot határoz meg. Az érintési pontok által alkotott téglalap területét megkapjuk, ha pl. egy kis téglalap területét -szer vesszük: | |
Frivaldszky Sándor (Bp. II., Rákóczi g. IV. o. t.) | II. megoldás: Legyen a keresett négyzet átlójának hossza . A négyzet oldalainak egyenlete rendre
Határozzuk meg pl. az első egyenes és az ellipszis metszéspontját. Az egyenes egyenletéből értékét az ellipszis egyenletébe helyettesítve
Ha az egyenes érinti az ellipszist, a kapott egyenlet diszkriminánsa lesz: Ebből (mint hosszúságot, elég csak a pozitív gyököt figyelembe venni). A kapott értéket (3)-ba helyettesítve, ebből az érintési pontok koordinátáját kiszámíthatjuk: Az első érintő egyenletéből kiszámíthatjuk az érintési pontok koordinátáját A területet ebből ugyanúgy számíthatjuk ki, mint az I. megoldásban.
Tusnády Gábor (Sátoraljaújhely, Kossuth g. II. o. t.) | III. megoldás: Feladatunkat koordináta geometria nélkül is megoldhatjuk. Rajzoljuk meg az ellipszissel affinitásban levő fél nagytengely sugarú kört, s húzzuk meg az , tengelyből egyaránt darabot lemetsző érintőt, s ennek körrendszerbeli affin megfelelőjét (2. ábra). 2. ábra Az affinitás viszonyszáma a fél nagytengely és fél kistengely aránya: , s így a körérintő az tengelyből nagyságú darabot metsz le. Az háromszög átfogója . Az területét kétféleképpen kiszámítva: ebből . A befogókra vonatkozó mértani közép tétellel kiszámíthatjuk a körön levő érintési pontig terjedő szakaszt: ebből A és hasonló háromszögek felhasználásával látható, hogy az távolságot a pont arányban osztja, s így az érintési pont koordinátája . Ugyanúgy a és hasonló háromszögekben az arányszám szintén , s így oldal kicsinyítésével az érintési pont koordinátája . Innen a területre ugyanaz az érték adódik, mint az előző megoldásokban. |