Kezdőlap


Feladat:	824. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádám F. , Argay Gy. , Bálint Z. , Beliczky T. , Bergmann Gy. , Borsi L. , Brickner L. , Fanta Katalin , Frivaldszky S. , Galambos J. , Gáspár J. , Gergely E. , Győry K. , Horváth M. , Kengyel Vilma , Király E. , Kolonits F. , Leipniker P. , Mályusz K. , Megyesi L. , Molnár L. , Montvay I. , Móricz F. , Németh J. , Papp K. , Paróczy Gy. , Pásztor Erzsébet , Pődör B. , Puruczky Éva , Rockenbauer A. , Sárközi A. , Solt Gy. , Stahl J. , Szász D. , Szatmári G. , Szatmári Z. , Szodoray Erzsébet , Tatai I. , Tatai P. , Tóth K. , Tóth Zsuzsanna , Trón T. , Urbán J. , Veszely Gy. , Zaránd P.
Füzet:	1957/december, 152 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Parabola egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/április: 824. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $p = 1$ , akkor az egyenlet egyenest jelent. Ha $p \neq 1$ , akkor a görbe egyenletét átalakítva így írhatjuk:

\begin{matrix} y = (p - 1) {(x + \frac{p}{p - 1})}^{2} - \frac{p^{2}}{p - 1} + 4, \end{matrix}

ami mutatja, hogy a görbe parabola, amelynek tengelye párhuzamos az

y

tengellyel, és csúcsának koordinátái:

\begin{matrix} u = - \frac{p}{p - 1} v = 4 - \frac{p^{2}}{p - 1} . \end{matrix}

1. Ha

g_{p}

érinti az

x

tengelyt, akkor

v = 0

\begin{matrix} \frac{p^{2}}{p - 1} = 4, amiből p^{2} - 4 p + 4 = {(p - 2)}^{2} = 0, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} p = 2, \end{matrix}

és így

g_{p}

egyenlete:

\begin{matrix} y = x^{2} + 4 x + 4 = {(x + 2)}^{2} . \end{matrix}

A csúcspont ez esetben

A(-2;0)

2. esetben a parabolának az

y

-tengely szimmetria tengelye, ami azt jelenti, hogy ha

x

-et

- x

-szel cseréljük is fel, ugyanazt az

y

értéket kapjuk, tehát

g_{p}

egyenletéből hiányoznia kell az

x

-et tartalmazó elsőfokú tagnak, vagyis

\begin{matrix} p = 0, \end{matrix}

és

g_{p}

egyenlete így:

\begin{matrix} y = - x^{2} + 4 = - (x^{2} - 4) . \end{matrix}

A csúcspont:

B(0;4)

3. Mindkét parabola előállítható az

y = x^{2}

parabolából, mégpedig az

A

csúcsú úgy, hogy az

y = x^{2}

parabolát

2

egységgel balra toljuk, a

B

csúcsú pedig úgy, hogy tükrözzük a

(0; 2)

pontra. A két parabola tehát egybevágó. Ha a

B

csúcspontú parabolát

A B

felezőpontjára tükrözzük, akkor

B

átmegy

A

-ba, a tengelyek is egymásra kerülnek, így a két egybevágó parabola szintén fedi egymást. Ezzel igazoltuk a 3. állítást.

4. Ha létezik olyan pont, amelyen a görbesor minden görbéje átmegy, akkor ennek koordinátái nem függhetnek

p

-től. Rendezzük a

g_{p}

adott egyenletét

p

szerint:

\begin{matrix} y = p (x^{2} + 2 x) - x^{2} + 4. \end{matrix}

p

együtthatója:

\begin{matrix} x^{2} + 2 x = x (x + 2) \end{matrix}

eltűnik, ha

\begin{matrix} x = 0, amikor is y = 4, \end{matrix}

vagy ha

\begin{matrix} x = - 2, s ekkor y = 0. \end{matrix}

Ezek a pontok pedig az

A

és a

B

, tehát ez a két pont rajta van a

g_{p}

egyenlettel jellemzett görbesereg minden görbéjén.

Puruczky Éva (Makó, József A. g. IV. o. t.)