Feladat: 822. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bartók K. ,  Bergmann Gy. ,  Borsi L. ,  Detre Mária ,  Elbert Á. ,  Fekete L. ,  Frivaldszky S. ,  Gergely E. ,  Gyene A. ,  Győry K. ,  Horváth M. ,  Király E. ,  Kolonits F. ,  Leipniker P. ,  Makay A. ,  Mályusz K. ,  Máté L. ,  Megyesi L. ,  Molnár J. ,  Muszély Gy. ,  Ortutay M. ,  Papp K. ,  Pásztor Erzsébet ,  Pödör B. ,  Rockenbauer A. ,  Sárközy A. ,  Stahl J. ,  Szász D. ,  Szatmári G. ,  Szatmáry Z. ,  Tóth K. ,  Tóth Zsuzsanna ,  Trón T. ,  Várallyay L. ,  Vincze M. ,  Wollner R. ,  Zaránd Péter 
Füzet: 1957/december, 151 - 152. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Magasabb fokú egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/április: 822. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két oldal különbségét képezve a nevező pozitív lesz, elég tehát a számlálót vizsgálni.

(n-1)(1+a+a2+...+an-1+an)-(n+1)(a+a2+...+an-1)==(n-1)-2(a+a2+...+an-1)+(n-1)an==(1-a)+(1-a2)+...+(1-an-1)+(an-a)+...+(an-an-2)+(an-an-1)==(1-a)+(1-a2)+...+(1-an-1)+a(an-1-1)++...+an-2(a2-1)+an-1(a-1)==(1-a)(1-an-1)+(1-a2)(1-an-2)+...+(1-an-1)(1-a).
Itt egyik tag sem negatív, mert a két tényezője nem lehet ellenkező előjelű. Ha a=1, akkor minden tag 0, más esetben mind pozitív. Mivel minden átalakítás ellenkező irányban is elvégezhető, így bebizonyítottuk a feladatban szereplő egyenlőtlenséget azzal a kiegészítéssel, hogy egyenlőség csak az a=1 esetben következhetik be.