A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Nyilvánvaló, hogy a maximális sugarú kör érinti az ellipszist, tehát meg kell határozni azt a kört, melynek középpontja a kistengely egy végpontja, és amely érinti az ellipszist. A betűzést az ábra mutatja.
Legyen a keresett kör középpontja és az egyik érintési pontja . Előfordulhat (mint alább látni fogjuk), hogy ez a kistengely másik végpontja. Ezt egyelőre zárjuk ki, a kistengelyre nézve tükrös érintési pont különbözzék -től. Tehát feltételeztük, hogy . Az érintési pontban a kör és ellipszis érintője, és így normálisa is közös. Tehát az körsugár merőleges a közös érintőre, és az az egyenes mint az ellipszis normálisa felezi a vezérsugarak szögét. Tehát . Legyen tükörképe a egyenesre nézve , akkor rajta van az vezérsugáron, és , továbbá az mint megfelelő szög szintén , mert , és így . Mivel az szakaszok az pontból egyenlő szög alatt látszanak, azért négyszög húrnégyszög, és így az Ebből következik a szögek egyenlősége miatt, hogy a vagyis | | amiből -re a könnyen szerkeszthető értéket kapjuk. Húrnégyszögünkben a , vagyis az derékszögű háromszögben . Messe az ből az -re bocsátott merőleges az utóbbi egyenest -ben, akkor az derékszögű háromszögben . Az tehát csak akkor szerkeszthető, ha az -ből rajzolt sugarú kör metszi az szárat, vagyis ha , azaz . Ez esetben és . A határesetben, ha , , , vagyis , akkor . Ez esetben , a kistengely másik végpontja. Ha , akkor .
Szatmáry Zoltán (Bp. VIII., Piarista g. IV. o. t.) |
II. megoldás: Ábránkon az vezérsugarat -szel jelölve, akkor , és a húrnégyszögre felírva Ptolemaios tételét: amiből Ez a megoldás akkor helyes, ha az , , , oldalakból ‐ ebben a sorrendben ‐ húrnégyszög szerkeszthető. Könnyen belátható, ha a húrnégyszög -nél levő szöge hegyes, vagyis , akkor a húrnégyszög -ból kiinduló két oldalának összege kisebb, mint a -ből kiinduló két oldal összege. Ez esetben tehát megfelelő húrnégyszög nem létezik. Tehát kell, hogy legyen.
Győry Kálmán (Ózd, József A. g. III. o. t.) |
|