Feladat: 816. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Argay Gy. ,  Bergmann Gy. ,  Borsi L. ,  Detre Mária ,  Elbert Á. ,  Endrődy T. ,  Frivaldszky S. ,  Gárdonyi Z. ,  Gáti Z. ,  Gereben Ildikó ,  Gergely E. ,  Győri K. ,  Hajnal J. ,  Jáky Mária ,  Kisvölcsey J. ,  Kolonits F. ,  Kominka L. ,  Kováts Ildikó ,  Kristóf L. ,  Leipniker P. ,  Mályusz K. ,  Megyesi L. ,  Meskó A. ,  Németh J. ,  Papp K. ,  Papp Z. ,  Parlagh Gy. ,  Pásztor Erzsébet ,  Puruczky Éva ,  Rockenbauer A. ,  Sárközy A. ,  Schipp F. ,  Schultz Gy. ,  Solt Gy. ,  Soós T. ,  Stahl J. ,  Szász D. ,  Szatmári G. ,  Szatmári Z. ,  Tóth Zsuzsanna ,  Unatényi T. ,  Váczi P. ,  Wollner R. ,  Zaránd Pál ,  Zaránd Péter 
Füzet: 1957/november, 107 - 108. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Összefüggések binomiális együtthatókra, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/március: 816. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az Sn sorozat tagjaiban szereplő binomiális együttható helyére írjuk be az értéküket:

Sn=1⋅2n(n-1)1⋅2+2⋅3n(n-1)(n-2)1⋅2⋅3+...++k(k+1)n(n-1)...(n-k)1⋅2...(k-1)k(k+1)+...+(n-2)(n-1)n+(n-1)n⋅1.



Végezzük el a kínálkozó egyszerűsítéseket:

Sn=n(n-1)+n(n-1)(n-2)+...+n(n-1)...(n-k)1⋅2...(k-1)++...+(n-2)(n-1)n+(n-1)n.



Emeljük ki a jobb oldal minden tagjában előforduló n(n-1)-t:
Sn=n(n-1)[1+(n-2)+...+(n-2)(n-3)...(n-k)1⋅2...(k-1)+...+(n-2)+1].



Vegyük észre, hogy a szögletes zárójelben szereplő tagok egy-egy binomiális együtthatóként foghatók fel, és így
Sn=n(n-1)[(n-20)+(n-21)+...+(n-2k-1)+...+(n-2n-3)+(n-2n-2)].

Mivel pedig a binomiális tétele alapján

2n-2=(1+1)n-2=(n-20)+(n-21)+...+(n-2k-1)+...+(n-2n-3)+(n-2n-2),


ezért
sn=n(n-1)2n-2.

Pásztor Erzsébet (Makó, József A. g. III. o. t.)