Feladat: 815. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csekő S. ,  Endrődy T. ,  Frivaldszky S. ,  Gergely Ervin ,  Győry K. ,  Kengyel Vilma ,  Kisvölcsey J. ,  Kolonits F. ,  Leipniker P. ,  Megyesi L. ,  Parlagh Gy. ,  Pásztor Erzsébet ,  Rockenbauer A. ,  Sárközy A. ,  Solt Gy. ,  Stahl János ,  Szász D. ,  Szatmári G. ,  Tóth Zsuzsanna ,  Veszely Gy. ,  Zaránd Péter 
Füzet: 1957/november, 106 - 107. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/március: 815. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük kifejezésünket P(x)-szel, akkor (ha nk)

(x-1)P(x)=(x3n+2+x3k+1+1)(x-1)==(x3n+3-1)-(x3n+2-x3k+2)-(x3k+1-x)==[(x3)n+1-1]-x3k+2[(x3)n-k-1]-x[(x3)k-1]==(x3-1)[(x3)n+(x3)n-1+...+(x3)+1]--x3k+2[(x3-1)n-k-1+(x3)n-k-2+...+(x3)+1]-x(x3-1)[(x3)k-1+...+1]

A három tag mindegyikéből kiemelhető x3-1, tehát
(x-1)P(x)=(x3-1)P1(x),(1)
ahol P1(x) az x-nek egy racionális egész függvénye. (1)-ből
P(x)=x3-1x-1P1(x)=(x2+x+1)P1(x).

Ha n<k, akkor a második sor második tagjából nem az x3k+2 tagot emeljük ki, hanem a ,,-x3n+2'' tagot, és így a harmadik sor második tagja így alakul
-x3n+2[(x3)k-n-1].
A további átalakítás ugyanaz marad, csak a P1(x) második tagjában n és k felcserélődik.
 

Gergely Ervin (Bp. IV., Könyves Kálmán g. IV. o. t.)
 

II. megoldás: Kifejezésünk így is írható

x3n+2-x2+x3k+1-x+x2+x+1=x2[(x3)n-1]+x[(x3)k-1]+(x2+x+1)==x2(x3-1)(x3(n-1)+x3(n-2)+...+1)+x(x3-1)(x3(k-1)+x3(k-2)+...+1)+(x2+x+1)==(x2+x+1)[x2(x-1)(x3(n-1)+x3(n-2)+...+1)+x(x-1)(x3(k-1)+x3(k-2)+...1)+1].

Stahl János (Bp. VI., Kölcsey g. IV. o. t.)

 

Megjegyzés: Természetesen nem volt elfogadható olyan felbontás, melyben nem mind a két tényező racionális kifejezése az x-nek.