Kezdőlap


Feladat:	814. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Endrödy Tamás
Füzet:	1957/november, 105 - 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/március: 814. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy $x$ valós szám az egész részét különválasztva így írható:

\begin{matrix} x = [x] + k, ahol 0 \leq k < 1. Így \\ x^{2} = {([x])}^{2} + 2 k [x] + k^{2} . \end{matrix}

Ennek az egész része akkor lesz nagyobb az első tagnál (ami egész szám), ha a másik két tag összege még legalább

1

-et ad:

\begin{matrix} 2 k [x] + k^{2} \geq 1, vagyis k^{2} + 2 k [x] - 1 \geq 0. \end{matrix}

A baloldali kifejezés mint

k

függvénye egy negatív és egy pozitív értékre tűnik el, köztük negatív, rajtuk kívül pozitív. Mivel

k

nem lehet negatív és a

\begin{matrix} k^{2} + 2 k [x] - 1 = 0 \end{matrix}

egyenlet pozitív gyöke

\begin{matrix} k = \frac{- 2 [x] + \sqrt[]{4 {([x])}^{2} + 4}}{2} = \sqrt[]{{[x]}^{2} + 1} - [x], \end{matrix}

így a feladatban szereplő egyenlőtlenség teljesülésének egy szükséges és elégséges feltétele, mivel

k

egy

1

-nél kisebb szám kell, hogy legyen,

\begin{matrix} \sqrt[]{{[x]}^{2} + 1} - [x] \leq k < 1. \end{matrix}

(1)

Célszerűbb azonban

k

helyett, ami maga is egy

x

-ből kiszámítandó mennyiség közvetlenül

x

-re adni meg feltételt. (1)-hez

x

-et adva,

k

jelentése szerint

\begin{matrix} \sqrt[]{{[x]}^{2} + 1} \leq x < [x] + 1 \end{matrix}

(2)

alakot nyer. (A második egyenlőtlenség minden

x

-re teljesül.) Itt

[x]

szükséges tulajdonságait ‐ kivéve

[x]

egész voltát ‐ a (2) egyenlőtlenség kifejezi, tehát elég azt követelnünk, hogy legyen olyan

n

egész szám, amelyre

\begin{matrix} \sqrt[]{n^{2} + 1} \leq x < n + 1 \end{matrix}

(3)

teljesül. Ez már egy használható szükséges és elégséges feltétel arra, hogy

\begin{matrix} [x^{2}] > {([x])}^{2} \end{matrix}

(4)

teljesüljön. Eszerint a

\sqrt[]{2} \leq x < 2

\sqrt[]{5} \leq x < 3

\sqrt[]{10} \leq x < 4

...

feltételeket kielégítő számokra teljesül (4), a kimaradókra pedig nem.

Endrödy Tamás (Bp. III., Árpád g. II. o. t.)

Megjegyzés: Egy dolog szükséges és elégséges feltétele nincs egyértelműen meghatározva. Így a (4) egyenlőtlenségnek szükséges és elégséges feltétele (1) is, (2) is, (3) is, sőt a legegyszerűbb maga a (4) egyenlőtlenség fennállása (valóban igaz, hogy (4) akkor és csak akkor teljesül, ha ez az egyenlőtlenség fennáll). A probléma tehát az, hogy egy valamilyen szempontból jól használható feltételt keressünk, amint azt a fenti esetben is tettük.