Kezdőlap


Feladat:	813. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gémesi Gabriella , Meskó Attila
Füzet:	1957/november, 104 - 105. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/március: 813. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az állítás már $n = 0$ -ból helyes. A bizonyítás elvégezhető teljes indukcióval. $n = 0$ -ra nyilván igaz az állítás, mert $11^{2} + 12 = 133$ .
Tegyük fel, hogy $n = k$ -ra is igaz, vagyis

\begin{matrix} 11^{k + 2} + 12^{2 k + 1} = 133 A, \end{matrix}

ahol

k

és

A

természetes számok.
Megmutatjuk, hogy akkor

n = k + 1

esetén is igaz a feladat állítása. Ugyanis

\begin{matrix} 11^{k + 3} + 12^{2 k + 3} = 11 \cdot 11^{k + 2} + 144 \cdot 12^{2 k + 1} = 11 \cdot 11^{k + 2} + (11 + 133) 12^{2 k + 1} = \\ = 11 (12^{k + 2} + 12^{2 k + 1}) + 133 \cdot 12^{k + 1} = 11 \cdot 133 A + 133 \cdot 12^{k + 1} = 133 (11 A + 12^{k + 1}) . \end{matrix}

Meskó Attila (Bp. VII., Madách g. III. o. t.)

II. megoldás: Kifejezésünk így alakítható át:

\begin{matrix} 11^{n + 2} + 12^{2 n + 1} = 121 \cdot 11^{n} + 12 \cdot 144^{n} = (133 - 12) 11^{n} + 12 \cdot 144^{n} = \\ = 133 \cdot 11^{n} + 12 (144^{n} - 11^{n}) . \end{matrix}

Az első tag nyilván osztható

133

-mal, a második tag pedig

144 - 11 = 133

-mal osztható, mert ismeretes, hogy

a^{n} - b^{n}

mindig osztható

(a - b)

-vel.

Gémesi Gabriella (Bp. VIII., Ságvári lg. II. o. t.)