Kezdőlap


Feladat:	811. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tatár Iván
Füzet:	1957/november, 101 - 103. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/február: 811. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A betűzést az ábra mutatja.

A kör egyenlete ilyen alakban írható

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0. \end{matrix}

Az a feltétel, hogy a kör átmegy az

A

és

B

pontokon, két egyenletet ad, és ezekből két együttható kifejezhető a harmadikkal:

\begin{matrix} 13 - 2 a + 3 b + c = 0 és 41 + 5 a + 4 b + c = 0. \end{matrix}

A másodikból levonva az elsőt

\begin{matrix} 28 + 7 a + b = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} b = - 7 a - 28. \end{matrix}

(1)

A két egyenletet összeadva

\begin{matrix} 54 + 3 a + 7 b + 2 c = 54 + 3 a - 49 a - 196 + 2 c = - 46 a - 142 + 2 c = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} c = 23 a + 71. \end{matrix}

(2)

Az egyenesen levő két metszéspont koordinátái ilyen alakúak:

\begin{matrix} (x_{1}; \frac{1}{2} x_{1} + 9), (x_{2}; \frac{1}{2} x_{2} + 9) . \end{matrix}

Feltehetjük, hogy

x_{1} < x_{2}

. A két pont távolságára

\begin{matrix} 4 \sqrt[]{5} = \sqrt[]{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + \frac{1}{4} (x_{2} - x_{1}^{2})} = \frac{\sqrt[]{5}}{2} (x_{2} - x_{1}) . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x_{2} = x_{1} + 8. \end{matrix}

(3)

Ezek a pontok a körön vannak, tehát

\begin{matrix} x_{1}^{2} & + \frac{{(x_{1} + 18)}^{2}}{4} + a x_{1} + \frac{b}{2} (x_{1} + 18) + c = 0, & (4) \\ x_{2}^{2} & + \frac{{(x_{2} + 18)}^{2}}{4} + a x_{2} + \frac{b}{2} (x_{2} + 18) + c = 0. \end{matrix}

A két egyenlet különbségét képezve innen elsőfokú egyenletet kapunk, amelyben [felhasználva (1)-et és (3)-at] csak két ismeretlen marad:

\begin{matrix} (x_{2} - x_{1}) (x_{2} + x_{1} + \frac{1}{4} (x_{2} + x_{1} + 36) + a + \frac{b}{2}) = 8 (\frac{5}{2} x_{1} - \frac{5}{2} a + 5) = 20 (x_{1} - a + 2) = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x_{1} = a - 2. \end{matrix}

(5)

A (4) egyenlet bal oldalát 4-gyel szorozva, rendezve és behelyettesítve (1), (2), (5)-öt egyismeretlenes másodfokú egyenletet kapunk

a

-ra,

a

-t ismerve pedig a többi adat (1), (2), (5) és (3) segítségével meghatározható :

\begin{matrix} 5 x_{1}^{2} + (36 + 4 a + 2 b) x_{1} + 36 b + 4 c + 324 = \\ = 5 {(a - 2)}^{2} + (36 + 4 a - 14 a - 56) (a - 2) - 160 a - 400 = \\ = 5 {(a - 2)}^{2} - 10 (a + 2) (a - 2) - 160 a - 400, \end{matrix}

tehát a (4) egyenletből

\begin{matrix} - 5 a^{2} - 180 a - 340 = 0, a^{2} + 36 a + 68 = 0. \end{matrix}

Innen

a

-ra

\begin{matrix} a = - 18 + \sqrt[]{324 - 68} = - 18 + 16 = - 2 és a = - 18 - 16 = - 34 \end{matrix}

adódik.
A többi meghatározandó értékek (1), (2), (5), (3)-ból

\begin{matrix} b & = - 7 a - 28 = - 14, & ill. b & = 210, \\ c & = 23 a + 71 = 25, & c & = - 711, \\ x_{1} & = a - 2 = - 4, y_{1} = \frac{1}{2} x_{1} + 9 = 7, & x_{1} & = 36, y_{1} = - 9, \\ x_{2} & = x_{1} + 8 = 4, y_{2} = 11, & x_{2} & = - 28, y_{2} = - 5. \end{matrix}

A kör egyenlete a két esetben

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 2 x - 14 y + 25 = {(x - 1)}^{2} + {(y - 7)}^{2} - 25 = 0 \end{matrix}

(I)

illetőleg

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 34 x + 210 y - 711 = {(x - 17)}^{2} + {(y + 105)}^{2} - 12025 = 0, \end{matrix}

(II)

tehát a kör

(u, v)

középpontjára és

r

sugarára

\begin{matrix} u = 1, v = 7, r = 5 ill. u = 17, v = - 105, r = 5 \sqrt[]{481} . \end{matrix}

(I)-ből a metszéspontok

P_{1} (- 4,7)

Q_{1} (4,11)

és
(lI)-ből a metszéspontok

P_{2} (- 36, - 9)

Q_{2} (- 28, - 5)

.
Mindkét esetben

d = P_{1} Q_{1} = P_{2} Q_{2} = \sqrt[]{64 + 16} = 4 \sqrt[]{5} .

.
Technikai okokból a (II.) kört ábránkon nem tüntettük fel.

Tatár Iván (Debrecen, Ref. g. IV. o. t.)