A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: A megoldók túlnyomórésze koordináta-geometriát használt. A derékszögű koordináta-rendszerben ábránkat sokféleképpen helyezhetjük el. Legkevesebb számolást igényei a bizonyítás, ha az átfogó az tengelyre, az átfogóhoz tartozó magasság az tengelyre esik. A betűzést és az egyes pontok koordinátáit az 1. ábra mutatja. 1. ábra Az és , továbbá a és derékszögű háromszögek egybevágók, és így , , . Az egyenes egyenlete: A egyenes egyenlete (1) és (2) egybevetéséből | | és így a két egyenes metszéspontjának abszcisszája (mivel ) Ezzel igazoltuk a feladat állítását.
II. megoldás: Legyenek az és egyenesek metszéspontjai a szemközti befogón , illetőleg (1. ábra). A Ceva-féle tétel felhasználásával bizonyítjuk, hogy az , és egyenesek egy ponton mennek át. Az egyes oldalakon keletkező osztóviszonyok:
Tehát valóban | | és így a Ceva-tétel megfordítása értelmében a három egyenes egy ponton megy át.
Elbert Árpád (Kaposvár, Közg. tech. III. o.t.) | III. megoldás: Koordináta-geometria és a Ceva-féle tétel nélkül is célhoz juthatunk. Az 1. ábra betűzését megtartva, tegyük fel, hogy az egyenes a magasságot egy , a egyenes pedig a magasságot egy pontban metszi. Mivel | | azért egyrészt (1. ábra) másrészt (1)-ből | | (2)-ből | |
Tehát (1) és (2) egybevetéséből következik, hogy
Tatai Péter (Bp. XIV., I. István g. II. o. t.) | IV. megoldás: Egészítsük ki az ábrát az négyzetté (2. ábra). 2. ábra Itt merőleges -re ‐ s így az háromszög -ből húzott magasságának meghosszabbítása ‐, mert ha az téglalapot elforgatjuk a befogó fölé rajzolt négyzet középpontja körül -kal úgy, hogy a pontba jusson, akkor az pont a be megy át, s így az elforgatás révén -be kerül. Hasonlóan látható azonban az is, ha a nagy négyzetet forgatjuk el -kal a középpontja körül úgy, hogy a -be kerüljön, hogy az -re és a -re merőleges, mert a mondott elforgatásnál a háromszög a háromszögre kerül. Arra jutottunk, hogy , és magasságvonalai az -nek, tehát igaz a feladat állítása, hogy egy ponton mennek keresztül.
Kolonits Ferenc (Bp. VIII., Piarista g. II. o. t.) |
|