Kezdőlap


Feladat:	809. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gergely Ervin
Füzet:	1957/november, 98 - 99. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek hasonlósága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/február: 809. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat előírása szerint előállítjuk az $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ négyszöget (1. és 2. ábra).

1. ábra

Jelöljük az átlók metszéspontját

M

-mel. Az

A A_{1} M

B B_{1} M

C C_{1} M

D D_{1} M

derékszögű háromszögek egymás között mind hasonlók, mert egyik hegyesszögük vagy közös, vagy csúcsszög. Tehát e háromszögekben a megfelelő oldalak aránya megegyezik:

\begin{matrix} M A_{1} : M A = M B_{1} : M B = M C_{1} : M C = M D_{1} : M D = r . \end{matrix}

Tükrözzük az

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

négyszöget az átlók valamely szögfelezőjére, nyerjük az

A'_{1} B'_{1} C_{1}' D'_{1}

négyszöget. Mivel az

A_{1}

C_{1}

és

B_{1}

D_{1}

pontok a szerkesztés szerint a

B D

, ill.

A C

átlón vannak, azért szükségképpen a tükörképek:

A'_{1}

C'_{1}

A C

átlóra, a

B'_{1}

D'_{1}

B D

átlóra kerülnek, továbbá

M A'_{1} = M A_{1}

M B'_{1} = M B_{1}

M C'_{1} = M C_{1}

és

M D'_{1} = M D_{1}

, és így az

A'_{1} B'_{1} C'_{1} D'_{1}

négyszög az eredeti

A B C D

négyszögnek az

M

hasonlósági pántból váló

r

arányú kicsinyítése.

2. ábra

Ha hurkolt négyszög esetén az átlók párhuzamosak (tehát

M

pontról nem beszélhetünk), akkor kézenfekvő, hogy

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} ≅ A B C D

, mert

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

nem más, mint az

A B C D

négyszögnek a párhuzamos átlók középvonalára vett tükörképe
Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.

Gergely Ervin (Bp. IV., Könyves K. g. IV. o. t.)