A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Induljunk ki a következő ismert azonosságból | | (1) | esetén Adjunk mindkét oldalhoz -t: | |
Mindkét esetben az első tag 1, és ez írható alakban is, így a következő azonosság látszik kialakulni: | | (2) |
Ennek helyességét -re és 2-re már igazoltuk. Teljes indukcióval bizonyítjuk, hogy ez minden -ra fennáll. Tegyük fel, hogy valamilyen -ra igaz (2). Adjunk mindkét oldalhoz -t:
De (1) alapján a jobb oldal , vagyis a (2) képlet -re is igaz, az adott sor összege tehát II. megoldás: Felhasználva, hogy az elemből alkotható -ad osztályú kombinációk száma, bebizonyítjuk az | | azonosság helyességét. A bal oldal az elemből pl. az számokból kiválasztható elemű kombinációk száma, vagyis a kiválasztható elemű csoportoké, ha az elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel, pl. mindig nagyság szerint növekvő sorrendben rendezzük az elemeket. Ezeket a csoportokat soroljuk osztályokba aszerint, hogy hány egymás utáni szám szerepel bennük a számsor elejéről. Az első csoportba az 1-et nem tartalmazó kombinációk száma nyilván Ezután jönnek azok a kombinációk, amelyek az 1-et tartalmazzák, de a 2-t nem, majd azok, amelyek az 1-et, 2-t tartalmazzák, de a 3-at nem s. i. t. Általában az -t tartalmazó, de -et nem tartalmazó kombinációkban az elemek, vagyis elem közül kell a már kiválasztott elemek mellé még elemet kiválasztani. Az ilyen kombinációk száma tehát (Ez -ra az 1-et nem tartalmazó kombinációk számát is kiadja, és helyes eredményt ad -ra is.) Ezt -ra összegezve valóban megkapjuk az elemből kiválasztható összes -elemű kombinációk számát. Ezzel igazoltuk a fenti azonosságot. III. megoldás: Ismeretes, hogy az értékekre az polinom alakjában fellépő együtthatók: | | Ezt figyelembe véve a feladatban szereplő összeg lesz az tag együtthatója az | | összegben, ha ezt a hatványai szerint rendezzük. Ez az összeg egy tagú mértani sor, melynek hányadosa , s így a következő zárt alakban írható:
A zárójelben az utolsó pozitív tag értéke 1, így -val tagonként elvégezhető az osztás. Az -edfokú tagot úgy kapjuk, hogy a zárójelben az -edfokú tagot osztjuk -val; az -edfokú tag együtthatója pedig . Így a következő azonossághoz jutottunk: | | Lásd a Matematikai Versenytételek I. rész 28. old. vagy a K. M. L. IV. kötet 1952. május‐június, 121. old:Lásd a Matematikai Versenytételek I. rész 64. old. vagy K. M. L. IV. kötet, 1952. május‐június, 117. old. |