Kezdőlap


Feladat:	805. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Parlagh Gyula
Füzet:	1957/október, 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/február: 805. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Emeljük négyzetre az első egyenletet:

\begin{matrix} x^{2} y^{2} (x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}) = 78^{2} . \end{matrix}

Helyettesítsük ebbe a második egyenletből

x^{4} + y^{4}

értékét, akkor

\begin{matrix} 2 x^{4} y^{4} + 97 x^{2} y^{2} - 78^{2} = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x^{2} y^{2} = \frac{- 97 \pm \sqrt[]{9409 + 48 672}}{4} = \frac{- 97 \pm 241}{4} . \end{matrix}

Valós gyököt csak a pozitív érték szolgáltat:

\begin{matrix} x^{2} y^{2} = 36. \end{matrix}

Ebből, mivel az első egyenlet szerint

x y

-nak pozitívnak kell lennie

\begin{matrix} x y = 6, \end{matrix}

és az első egyenletből

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = \frac{78}{6} = 13. \end{matrix}

Az utolsó két egyenletből következik, hogy

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y = 25, {(x - y)}^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y = 1. \end{matrix}

Világos, hogy kiindulási egyenleteinknek csak olyan valós számok tehetnek eleget, melyekben

x

és

y

ugyanolyan előjelű, továbbá, hogy így

x, y

értékpárral együtt a

- x, - y

;

y, x

;

- y, - x

értékpárok is megoldást adnak. Elég tehát olyan megoldást keresni, amelyre

x > y > 0

, és ezekhez képest még a fenti 3 további értékpárt. Ilyen feltétel mellett

x + y

és

x - y

pozitív, tehát

\begin{matrix} x + y = 5, x - y = 1, amiből x_{1} = 3, y_{1} = 2, \end{matrix}

s a további 3 gyökpár

\begin{matrix} x_{2} = 2, y_{2} = 3; \end{matrix}

Parlagh Gyula (Kecskemét, Katona J. g. IV. o. t.)