Kezdőlap


Feladat:	803. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kolonits Ferenc
Füzet:	1957/október, 48 - 49. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Egyenes, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/január: 803. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Helyezzük el a derékszögű koordinátarendszerben az adott négy pontot a következőképpen (1. ábra):

1. ábra

\begin{matrix} A (0, 0), B (b, 0), C (c, k), D (d, k) . \end{matrix}

Legyen

M (x_{1}, y_{1})

a mértani hely egy pontja. Az

M C

és

M D

egyenesek metszik ki az

A B

egyenesből ‐ jelen esetben az

x

tengelyből ‐ a

P

és

Q

pontokat. Az

M C

egyenes egyenlete:

\begin{matrix} y - y_{1} = \frac{k - y_{1}}{c - x_{1}} (x - x_{1}) . \end{matrix}

(1)

M D

egyenes egyenlete:

\begin{matrix} y - y_{1} = \frac{k - y_{1}}{d - x_{1}} (x - x_{1}) . \end{matrix}

(2)

Határozzuk meg ezen egyeneseknek az

x

tengellyel való metszéspontjait.
Ha

y = 0

, akkor
(1)-ből

P

abszcisszája

\begin{matrix} x = \frac{k x_{1} - c y_{1}}{k - y_{1}}, \end{matrix}

(2)-ből

Q

abszcisszája

\begin{matrix} x = \frac{k x_{1} - d y_{1}}{k - y_{1}} . \end{matrix}

A feladat szerint

\begin{matrix} 2 \frac{k x_{1} - c y_{1}}{k - y_{1}} = \frac{k x_{1} - d y_{1}}{k - y_{1}} - b, \end{matrix}

vagyis rendezés után

x_{1}

és

y_{1}

között a

\begin{matrix} 2 c y_{1} - d y_{1} + b y_{1} - k x_{1} - b k = 0 \end{matrix}

összefüggés adódik, ami azt jelenti, hogy a mértani hely egyenlete:

\begin{matrix} y = \frac{k}{b + 2 c - d} x + \frac{b k}{b + 2 c - d} . \end{matrix}

Ez pedig egy egyenes egyenlete. Ha

b + 2 c - d = 0

, akkor a fenti egyenlet

k (x_{1} + b) = 0

lesz, vagyis a mértani hely egyenlete

x = - b

, ez olyan egyenest jelent, amely merőleges az

x

tengelyre (vagyis az

e = A B

egyenesre).
A mértani hely megszerkesztése legegyszerűbben úgy történik, hogy két pontját szerkesztjük meg.

Kolonits Ferenc (Bp., VIII., Piarista g. II. o. t.)

II. megoldás: Mérjük fel

A

-tól

B

-vel ellenkező irányban az

A E = A B

távolságot (2. ábra), ekkor nyilván

P E = P Q

és

B E = 2 A E

, és így

E

a mértani hely egy pontja.

2. ábra

Kössük össze

E

-t

M

-mel, és messe

C D

meghosszabbítása az

E M

egyenest

F

-ben, ekkor

F D | | E Q

miatt,

C F = C D

. Tehát

F

P

pont helyzetétől független pontja a

C D

egyenesnek. Más szóval: a mértani hely bármely

M

pontját összekötve az

E

ponttal, az így nyert egyenes mindig átmegy az

F

ponton, tehát az

M

pont az

E F

egyenesen mozog. Könnyű belátni, ha

P

befutja az

e

egyenest,

M

befutja az

E F

egyenest, vagyis az

E F

egyenes a keresett mértani hely. Ha

P C | | E F

, akkor

E P = F C = \frac{F D}{2}

, és így

\begin{matrix} E Q = E B - B Q = 2 E A - 2 (E A - \frac{F D}{2}) = F D, \end{matrix}

vagyis

Q D

is párhuzamos

E F

-fel, vagyis az

M

pont mint olyan nem létezik.