Kezdőlap


Feladat:	802. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Simon László
Füzet:	1957/október, 47 - 48. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/január: 802. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel mindhárom szög cosinusa pozitív, azért mind a három szög hegyesszög.
$a + β + γ = 180^{\circ}$ -ból következik, hogy

\begin{matrix} cos (α + β) = cos (180 - γ) = - cos γ, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} cos α cos β + cos γ = sin α sin β = \sqrt[]{(1 - cos^{2} α) (1 - cos^{2} β)}, \end{matrix}

(1)

és fordítva (1)-től következik, hogy

α + β + γ = 180^{\circ}

.
A feladat adatai szerint:

\begin{matrix} cos α cos β = \frac{\sqrt[]{12}}{16 cos^{2} 10^{\circ}} & = \frac{\sqrt[]{3}}{8 cos^{2} 10^{\circ}}, \\ 1 - cos^{2} α = 1 - \frac{1}{8 cos^{2} 10^{\circ}} & = \frac{8 cos^{2} 10^{\circ} - 1}{8 cos^{2} 10^{\circ}}, \\ 1 - cos^{2} β = 1 - \frac{3}{8 cos^{2} 10^{\circ}} & = \frac{8 cos^{2} 10^{\circ} - 3}{8 cos^{2} 10^{\circ}} . \end{matrix}

Tehát (1) így írható

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{3}}{8 cos^{2} 10^{\circ}} + \frac{1}{2 cos 10^{\circ}} = \frac{\sqrt[]{64 cos^{4} 10^{\circ} - 32 cos^{2} 10^{\circ} + 3}}{8 cos^{2} 10^{\circ}} . \end{matrix}

(2)

Ha bebizonyítjuk, hogy ez azonosság, akkor igazoltuk a feladat állítását.
A törteket eltávolítva

\begin{matrix} \sqrt[]{3} + 4 cos 10^{\circ} = \sqrt[]{64 cos^{4} 10^{\circ} - 32 cos^{2} 10^{\circ} + 3} . \end{matrix}

Négyzetre emelve, rendezve és

16 cos 10^{\circ}

-kal egyszerűsítve.

\begin{matrix} 4 cos^{3} 10^{\circ} - 3 cos 10^{\circ} - \frac{\sqrt[]{3}}{2} = 0. \end{matrix}

(3)

De ismeretes, hogy

cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x

, és így

\begin{matrix} 4 cos^{3} 10^{\circ} - 3 cos 10^{\circ} = cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}, \end{matrix}

tehát (3) helyes, és mivel az átalakítások fordított sorrendben is elvégezhetők, (2) is igaz.

Simon László (Bp., XI., József A. g. III. o. t.)