Feladat: 802. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Simon László 
Füzet: 1957/október, 47 - 48. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/január: 802. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel mindhárom szög cosinusa pozitív, azért mind a három szög hegyesszög.
a+β+γ=180-ból következik, hogy

cos(α+β)=cos(180-γ)=-cosγ,
vagyis
cosαcosβ+cosγ=sinαsinβ=(1-cos2α)(1-cos2β),(1)
és fordítva (1)-től következik, hogy α+β+γ=180.
A feladat adatai szerint:
cosαcosβ=1216cos210=38cos210,1-cos2α=1-18cos210=8cos210-18cos210,1-cos2β=1-38cos210=8cos210-38cos210.
Tehát (1) így írható
38cos210+12cos10=64cos410-32cos210+38cos210.(2)

Ha bebizonyítjuk, hogy ez azonosság, akkor igazoltuk a feladat állítását.
A törteket eltávolítva
3+4cos10=64cos410-32cos210+3.

Négyzetre emelve, rendezve és 16cos10-kal egyszerűsítve.
4cos310-3cos10-32=0.(3)
De ismeretes, hogy cos3x=4cos3x-3cosx, és így
4cos310-3cos10=cos30=32,
tehát (3) helyes, és mivel az átalakítások fordított sorrendben is elvégezhetők, (2) is igaz.
 

Simon László (Bp., XI., József A. g. III. o. t.)